专题01 含参数与新定义的集合问题-高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

专题01 含参数与新定义的集合问题

【技巧总结】

一．解决与集合有关的创新题的对策：

（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．

（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．

（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．

二．解决与集合有关的参数问题的对策

（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．

（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．

（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．

（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．

（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．

【题型归纳目录】

题型一：根据元素与集合的关系求参数

题型二：根据集合中元素的个数求参数

题型三：根据集合的包含关系求参数

题型四：根据两个集合相等求参数

题型五：根据集合的交、并、补求参数

题型六：集合的创新定义

【典型例题】

题型一：根据元素与集合的关系求参数

例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则（       ）

A． B．或 C． D．

例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（　　）

A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可

例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集，，若，则B等于（       ）

A． B． C． D．

例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知，且，，，则取值可能为（       ）

A． B． C． D．

题型二：根据集合中元素的个数求参数

例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合有两个子集，则m的值是__________．

例6．（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合．

（1）若A是空集，求实数a的取值范围；

（2）若集合A中只有一个元素，求集合A；

（3）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．

例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，

（1）若是空集，求的取值范围；

（2）若中至多有一个元素，求的值，并写出此时的集合；

（3）若中至少有一个元素，求的取值范围．

题型三：根据集合的包含关系求参数

例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（       ）

A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1

例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（       ）

A． B． C． D．

例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（       ）

A．2 B． C． D．0

例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合，若，则实数___________．

例13．（2022·全国·高一专题练习）集合，，若，则由实数组成的集合为____

例14．（2022·上海·高一专题练习）集合，则m＝___．

例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________．

例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．

例17．（2022·全国·高一课时练习）已知为实数，，．

（1）当时，求的取值集合；

（2）当时，求的取值集合．

例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．

（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；

（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．

例19．（2022·全国·高一）已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围

例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合，．

（1）若，试求；

（2）若，求实数的取值范围．

例21．（2022·江苏·高一）已知集合．

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若，求实数a的取值范围；

（3）若，求实数a的取值范围．

例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若满足的所有实数构成集合，则____，的子集有____个．

题型四：根据两个集合相等求参数

例23．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若，则（       ）

A．0 B．1 C． D．

例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，则______．

例25．（2022·全国·高一课时练习）已知，．若，则______．

例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数_______

题型五：根据集合的交、并、补求参数

例27．（2022·全国·高一课时练习）设，，全集，，或，则______．

例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M={1，2，3}，，若，则a的值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．1或2

例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例30．（2022·全国·高一）设全集，集合，，则实数的值为（       ）

A．0 B．-1 C．2 D．0或2

例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，或，若，求实数a的取值范围．

例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，或．

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．

例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合，．

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）当集合A中的时，求集合A的非空真子集的个数；

（3）若，且不存在元素x，使得与同时成立，求实数m的取值范围．

例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．

（1）若，，求实数m的取值范围；

（2）若或，，求实数m的取值范围．

例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．

（1）若集合，且，求的值；

（2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围．

例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，或．

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）若，求实数m的取值范围．

例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合，，且，则______，______．

题型六：集合的创新定义

例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A，B都是非空集合，且．若，，则（       ）

A． B．

C．或 D．或

例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B中元素的个数为______．

例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割______．

例42．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．

（1）若，求出A中其他所有元素．

（2）0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．

（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？

例43．（2022·上海·高一专题练习）已知集合为非空数集，定义：，．

（1）若集合，求证：，并直接写出集合；

（2）若集合，，且，求证：．

例44．（2022·全国·高一单元测试）给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合．

（1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明；

（2）若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；

（3）若集合C，D为闭集合，且，，证明：．