高中人教A版 (2019)4.3 对数精品达标测试

4.3 对数

【题型归纳目录】

题型一：对数的定义

题型二：指数式与对数式互化及其应用

题型三：利用对数恒等式化简求值

题型四：积、商、幂的对数

题型五：一类与对数有关方程的求解问题

题型六：对数运算法则的应用

题型七：换底公式的运用

题型八：由已知对数求解未知对数式

题型九：证明常见的对数恒等式

【知识点梳理】

知识点一、对数概念

1、对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．

知识点诠释：

对数式中各字母的取值范围是：且，，．

2、对数（且）具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即；

（2）1的对数为0，即；

（3）底的对数等于1，即．

3、两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．

4、对数式与指数式的关系

由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．

知识点二、对数的运算法则

已知，（且，、）

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

推广：

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

知识点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

，

，

．

知识点三、对数公式

1、对数恒等式：

2、换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：

（1）

令，则有，，即，即，即：．

（2），令，则有，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．

【典型例题】

题型一：对数的定义

例1．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

例2．（2022·全国·高一课时练习）使有意义的实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

例3．（2022·江苏南通·高一期末）使式子有意义的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式1．（2022·全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.

【方法技巧与总结】

对数式中各字母的取值范围是：且，，．

题型二：指数式与对数式互化及其应用

例4．（2022·全国·高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．

例5．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ）

A．①② B．②④

C．①③ D．③④

例6．（2022·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式等价的是（    ）.

A． B． C． D．

变式2．（2022·全国·高一课时练习）若，则（    ）

A． B． C． D．

变式3．（2022·全国·高一单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（    ）

A．； B．；

C．； D．．

变式4．（多选题）（2022·湖南湘西·高一期末）下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【方法技巧与总结】

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

题型三：利用对数恒等式化简求值

例7．（2022·河南·高三阶段练习（文））计算：___________.（可保留根式）

例8．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

例9．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________．

变式5．（2022·贵州·遵义四中高一期末）______．

【方法技巧与总结】

对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.

题型四：积、商、幂的对数

例10．（2022·全国·高一专题练习）计算

(1)

(2)

例11．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．

例12．（2022·湖南·平江县第三中学高一期中）计算=________.

【方法技巧与总结】

利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．

题型五：一类与对数有关方程的求解问题

例13．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）解关于的方程.

(1)；

(2).

例14．（2022·湖南·高一课时练习）已知，是方程的两个实数根，求的值．

例15．（2022·全国·高一课时练习）解方程：．

变式6．（2022·上海·高一单元测试）解关于的方程：

(1)；

(2)；

变式7．（2022·全国·高一课时练习）解方程：．

【方法技巧与总结】

直接利用定义法或者换元法

题型六：对数运算法则的应用

例16．（2022·全国·高一课时练习）计算：

(1)；

(2)；

(3)．

例17．（2022·全国·高一课时练习）(1)；

(2)．

例18．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）计算下列各式的值：

(1)(2)0＋22·－；

(2)log23·(log32＋log92)＋()2＋ln－lg1.

变式8．（2022·全国·高一专题练习）求值

【方法技巧与总结】

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.

题型七：换底公式的运用

例19．（2022·全国·高一单元测试）化简____________

例20．（2022·全国·高一专题练习）若，且，则_____________．

例21．（2022·江苏·高一专题练习）________．

变式9．（2022·全国·高一专题练习）若，且，，，则的值是____．

变式10．（2022·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.

变式11．（2022·吉林·抚松县第一中学高一开学考试）若，则的值为___________.

变式12．（2022·山东滨州·高一期末）已知，则______．

变式13．（2022·上海·高一单元测试）若，则的最小值为______.

【方法技巧与总结】

（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．

（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．

题型八：由已知对数求解未知对数式

例22．（2022·全国·高一课时练习）若，，则（    ）

A． B． C． D．

例23．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，，试用表示；

（2）已知，，试用表示．

例24．（2022·浙江·高一期中）设，，把用含，的式子表示，形式为___________.

变式14．（2022·上海闵行·高一期末）已知，用表示___________.

变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

变式16．（2022·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知，则下列能化简为的是（    ）

A． B． C． D．

变式17．（2022·江苏·高一专题练习）已知，那么用表示是（    ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

利用对数运算法则的应用进行转换.

题型九：证明常见的对数恒等式

例25．（2022·湖南·高一课时练习）利用换底公式证明：．

例26．（2022·安徽·高一阶段练习）（1）设，，证明：．

（2）设，，证明：．

例27．（2022·江苏·高一课时练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：

（1）；

（2）（，，）.

变式18．（2022·全国·高一单元测试）已知，，为正数，，．

（1）求；

（2）证明：．

变式19．（2022·江苏·高一单元测试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：.

理由如下：设，，所以，，所以

，由对数的定义得:，又因为，所以

解决以下问题：

（1）将指数转化为对数式：__.

（2）仿照上面的材料，试证明：.

（3）拓展运用：计算.

【方法技巧与总结】

利用换底公式和作差法进行证明.

【同步练习】

一、单选题

1．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知且，则m等于（    ）

A． B．6 C．12 D．36

2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数满足，则（    ）

A． B．1 C．2 D．0

4．（2022·全国·高一单元测试）设，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高一课时练习）化简的值为（    ）

A． B． C． D．-1

6．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数，则（    ）

A． B． C．1 D．3

7．（2022·全国·高一单元测试）计算：（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．

10．（2022·全国·高一单元测试）已知当时，．根据上述结论，若，，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（    ）

A．若，且，则，，

B．若，且，则，，

C．，，

D．，，

12．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过____块这样的玻璃.（参考数据：，.）

14．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）______ ．

15．（2022·全国·高一专题练习）若，，则_______．

16．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．

四、解答题

17．（2022·全国·高一单元测试）计算

(1)

(2).

18．（2022·江苏省灌南高级中学高一期中）计算：

(1).

(2)；

19．（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．

(1)求的值；

(2)若，，且，求的值．

20．（2022·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.

(1)试求之间的关系.

(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.

(3)比较，，的大小.