第四章 指数函数与对数函数 单元综合测试卷-高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

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第四章 指数函数与对数函数 单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数是指数函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A,是幂函数，对于B，系数不为1，不是指数函数，对于C, 是底数为的指数函数，对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C2．方程的根所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B3．已知函数，则的（    ）A．图象关于原点对称，且在上是增函数B．图象关于轴对称，且在上是增函数C．图象关于原点对称，且在上是减函数D．图象关于轴对称，且在上是减函数【答案】A【解析】定义域为，，为奇函数，图象关于原点对称；当时，为增函数，为减函数，为增函数.故选：A.4．若，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，故.故选：B5．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，排除A，所以，故函数是偶函数，图象关于对称，排除B，当时，，排除D，故选：C6．若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（        ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．7．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得：或，因函数，由解得，因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，所以实数的取值范围是.故选：A8．存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（    ）①②；③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于①，，又因为，当且仅当，即时取等；所以.对于②，，，，所以对于③，因为当时，，所以时，，，，因为当时，，所以时，，所以.故在其定义域上有界的函数为①.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（多选）下列函数不存在零点的是（　　）A． B．C． D．【答案】BD【解析】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；B选项中，令，则，因为，所以该方程无解，所以函数无零点；C选项中，令，解得，故-1和1是函数的零点；D选项中，令，方程无解，故函数无零点．故选：BD．10．下列说法中正确的是（    ）A．函数的值域为B．函数的零点所在区间为C．函数与互为反函数D．函数与函数为同一函数【答案】ABC【解析】A选项：函数，当时，取最小值为，所以函数的值域为；B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确；C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确；D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；故选：ABC.11．已知实数满足，下列选项中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故选项A正确；，故选项B错误；，故选项C正确；,,故选项D错误．故选：AC．12．已知函数，，则下列结论正确的是（    ）A．，恒成立，则实数a的取值范围是B．，恒成立，则实数a的取值范围是C．，，则实数a的取值范围是D．，，【答案】AC【解析】对于A选项，，恒成立，即，为减函数，所以，A选项正确；对于B选项，，恒成立，即，所以，B选项不正确；对于C选项，，，即，的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，C选项正确；对于D选项，，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为___________．【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得或，所以函数的定义域为．故答案为：．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过___________个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据）【答案】5【解析】设个小时后血液中酒精含量为，则，即，当，可得，所以该驾驶员至少经过个小时才能驾驶．故答案为：5.15．写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】因为，当时在定义域上单调递增，当时，画出，的图象如下所示：要使函数在上单调递增，由图可知当时均可满足函数在上单调递增；故答案为：（答案不唯一）16．已知函数，若，，则________．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以函数的定义域为，又因为，，，所以，所以，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）化简或计算下列各式：(1)；(2)【解析】（1）.（2）.18．（12分）冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办2022年冬奥会、残奥会，带动我国近3亿人参与冰雪运动有重要支撑作用.东北某家生产企业，生产某种冰雪产品的年固定成本为100万元，每生产千件需投入，当年产量不足80千件时（万元），当年产量不小于80千件时，（万元）.每件产品售价为500元.经市场分析，该企业产品可以全部售完；(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少?【解析】(1)每件产品售价500元，则千件销售额为万元，由题可知当时：，当时：；(2)当时，，此时当时（万元），当时，，当且仅当“”即“”时“＝”成立，所以当年产量为30千件时获利最大，最大利润350万元.19．（12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；当时，，，为上的偶函数，当时，；综上所述：；（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，由图象可知：，即实数的取值范围为.20．（12分）已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．(1)求实数的值.(2)并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(3)解不等式：．【解析】（1）因为函数且在上为单调函数，所以，解得或．因为且，所以；（2）由（1）得， ，所以；（3）由（2）得，，且，所以，所以 ，所以，整理得，，解得，所以原不等式的解集为．21．（12分）已知函数的图象过点．(1)求函数和的解析式；(2)设，若对于任意，都有，求m的取值范围．【解析】（1）因为函数的图象过点，所以，解得，所以．（2）因为且，所以且，因为在上单调递减，在上单调递增所以的最大值是或．因为．所以，若，只需，即，则，设，任取且，则，因为，所以，，即，所以，所以，即，所以在区间上单调递增，且，所以，即，所以，所以m的取值范围是．22．（12分）已知函数(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；(2)已知集合①求集合；②当时，函数的最小值为，求实数的值．【解析】（1）根据题意，当时，，当时，，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，，所以，（2）①，即所以，所以，，解得所以，②由①可得所以，函数等价转化为，，下面分三种情况讨论求当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；当，即时，，解得或（舍）综上：的值为或5