人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀课后作业题

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5．1 任意角和弧度制
【知识点梳理】
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
知识点诠释：
角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点诠释：
（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同；
（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
（3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍．
3、常用的象限角
角的终边所在位置
角的集合
x轴正半轴

y轴正半轴

x轴负半轴

y轴负半轴

x轴

y轴

坐标轴

是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点诠释：
（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．
（2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径．
【题型归纳目录】
题型一：角的概念
题型二：终边相同的角的表示
题型三：角所在象限的研究
题型四：象限角的判定
题型五：区域角的表示
题型六：弧度制与角度制的互化
题型七：扇形的弧长及面积公式的应用
题型八：扇形中的最值问题
【典型例题】
题型一：角的概念
例1．（2022·全国·高一课时练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（    ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【解析】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．
故选：D．
例2．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C
例3．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（    ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．
故选：B.
变式1．（2022·全国·高一课时练习）钟的时针和分针一天内会重合（    ）
A．21次 B．22次 C．23次 D．24次
【答案】B
【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，
所以分针比时针多转的圈数是24-2=22，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合22次，
故选：B
变式2．（2022·全国·高一课时练习）如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（    ）

A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【解析】一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为，丑时与午时相差个时辰，故丑时与午时的夹角为
故选：C
【方法技巧与总结】
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
题型二：终边相同的角的表示
例4．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与角终边相同的角的集合为，
取时，.
故选：D
例5．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角，则符合条件的最大负角为（    ）
A．–22 º B．–220 º C．–202 º D．–158 º
【答案】A
【解析】因为，
所以，
又，
所以当时，最大负角为，
故选：A
例6．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）将化为的形式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由知.
故选：B.
变式3．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，则集合M，N的关系为（    ）
A． B．Ü C．Ü D．
【答案】B
【解析】由于，，所以，
故选：B.
变式4．（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
变式5．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴与终边相同的角是.
故选：D
变式6．（2022·吉林松原·高一阶段练习）下列与角的终边一定相同的角是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于选项C：与角的终边相同的角为，C满足.
对于选项B ：当时， 成立；
当时，不成立.
对于选项D：不成立.
故选: C
变式7．（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用终边相同的角的关系，得，.
则与有关，故AC错误；
又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以.
故选：D．
变式8．（2022·全国·高一课时练习）若，，则角与角的终边一定（    ）
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】C
【解析】因为角与角的终边关于x轴对称，所以角与角的终边一定也关于x轴对称．
故选：C
变式9．（2022·河南安阳·高一期末）把表示成，的形式，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴
故选：B
变式10．（2022·全国·高一课时练习）已知.
(1)写出与角终边相同的角的集合；
(2)写出在内与角终边相同的角.
【解析】（1）与角终边相同的角的集合为.
（2）令，得.
又，∴k=-2，-1，0，
∴在内与角终边相同的角是，，.
变式11．（2022·全国·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角．
【答案】(1)四类
(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°
(3)，
【分析】
集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；
取适当的整数即可得到指定范围内的角；
找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.
（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令，得，
又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以，.
【方法技巧与总结】
在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
（1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法．
（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
题型三：角所在象限的研究
例7．（2022·全国·高一课时练习）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴
【答案】C
【解析】由于的终边在第三象限，则，
所以，，
因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴.
故选：C.
例8．（2022·上海·高一课时练习）角的终边在第二象限，则角的终边在_________．
【答案】第三、四象限或y轴非正半轴
【解析】是第二象限角，，．
，．
的终边的位置是第三或第四象限，的非正半轴．
故答案为：第三、第四象限或轴的非正半轴
例9．（2022·全国·高一课时练习）若α是第一象限的角，则是（    ）
A．第一象限角 B．第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】D
【解析】由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.
故选：D.
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（    ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限

所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
变式13．（2022·全国·高一课时练习）若，，试确定，分别是第几象限角．
【解析】由得：，为第一象限角；
由得：，
当时，，则为第一象限角；
当时，，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
变式14．（2022·江苏·高一课时练习）设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限角？
（2）是第几象限角？
【解析】（1）因为是第一象限角，即，
所以，
所以一定不是第三、四象限角；
（2）因为是第一象限角，即，
所以，
当时，，是第一象限；
当时，，是第二象限；
当时，，是第三象限；
当时，，是第一象限；
综上：是第一、二、三象限角.
【方法技巧与总结】
已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意．
题型四：象限角的判定
例10．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（    ）
A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论
【答案】D
【解析】集合中，若，不属于第一或第四象限角，即.
集合中，若，是第一象限角，但.
综上，集合与没有关系.
故选：D
例11．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下列说法中，正确的是（    ）
A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．是第二象限的角 D．是终边相同的角
【答案】D
【解析】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，
此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；
对于C：是第三象限的角，故C错误；
对于D：因为，
所以是终边相同的角，故D正确；
故选：D
例12．（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【解析】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
变式15．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）终边落在第四象限内的角的集合可表示为______________.
【答案】
【解析】终边落在第四象限内的角的集合可表示为.
故答案为：.
变式16．（2022·上海市宝山中学高一期中）平面直角坐标系中，若角，则是第________象限的角.
【答案】二
【解析】，因此与终边相同，
而是第二象限角．所以是第二象限角．
故答案为：二．
变式17．（2022·全国·高一课时练习）下列各角中，与160°角是同一象限角的是（    ）
A．600° B．520° C．－140° D．－380°
【答案】B
【解析】160°角是第二象限角，600°角是第三象限角，520°角是第二象限角，
角是第三象限角，角是第四象限角.
故选：B.
变式18．（2022·河南南阳·高一期末）已知角，则角的终边落在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.
故选：C.
变式19．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）角所在的象限为（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，角位于第三象限.
故选：C.
变式20．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（    ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】对①：是第四象限角，故①正确；
对②：，故其为第三象限角，故②正确；
对③：，又是第二象限角，故是第二象限角，③正确；
对④：，又是第一象限角，给是第一象限角，④正确.
故正确的有个.
故选：.
变式21．（2022·江苏·高一课时练习）终边落在轴上的角的集合是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A表示的角的终边在x轴非负半轴上；
B表示的角的终边x轴上；
C表示的角的终边在y轴上；
D表示的角的终边在y轴非负半轴上.
故选：C
变式22．（2022·全国·高一专题练习）终边在坐标轴上的角的集合是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】任取一个角使其终边落在坐标轴上，不妨设为0，则该角每增加后终点依然落在坐标轴上，
故终边落在坐标轴上的角的集合为．
故选：．
【方法技巧与总结】
判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法
（1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β；
（2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限．
题型五：区域角的表示
例13．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
例14．（2022·全国·高一课时练习）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z.
故选：C
例15．（2022·全国·高一课时练习）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（    ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当取偶数时，，，
故角的终边在第一象限.
当取奇数时，，，
故角的终边在第三象限.
故选：C.
变式23．（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】
根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
变式24．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，集合，求．
【解析】在平面直角坐标系中表示出角的范围如下图：

由图可知：.
变式25．（2022·全国·高一专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围.
（1）；
（2）.
【解析】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.
所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°