高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品达标测试，文件包含542正弦函数余弦函数的性质解析版docx、542正弦函数余弦函数的性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。
5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质
【知识点梳理】
知识点一：周期函数
函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期．
知识点诠释：
1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期．
2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期．
知识点二：正弦函数性质
函数
正弦函数
定义域

值域

奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心

对称轴

知识点诠释：
（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
知识点三：正弦型函数的性质．
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．
知识点诠释：
判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．
知识点四：余弦函数的性质
函数
余弦函数
定义域

值域

奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心

对称轴

知识点诠释：
（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
知识点五：余弦型函数的性质．
函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．
（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．
（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．
知识点诠释：
判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
若，则函数不一定有对称轴和对称中心．
【题型归纳目录】
题型一：正余弦函数的周期问题
题型二：正余弦函数的奇偶问题
题型三：正余弦函数的对称问题
题型四：正余弦函数的单调问题
题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题
题型六：比较大小
题型七：正余弦函数的最值与值域问题
题型八：正余弦函数的综合应用
【典型例题】
题型一：正余弦函数的周期问题
例1．（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（     ）
A． B． C．2 D．3

例2．（2022·陕西汉中·高一期末）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（    ）
A． B． C． D．

例3．（2022·山东德州·高一期末）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（    ）
A． B．
C． D．

变式1．（2022·陕西渭南·高一期末）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．

变式2．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）下列函数中周期为，且为偶函数的是（    ）
A． B．
C． D．

变式3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(，)在区间上单调，且，则的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．
（2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数，
（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．
题型二：正余弦函数的奇偶问题
例4．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（    ）
A． B．
C． D．

例5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ）
A． B． C． D．0

例6．（2022·全国·高一专题练习）若函数是奇函数，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．

变式4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则（    ）
A． B． C． D．

变式5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数（，，为实数），且，则（    ）
A． B．1 C． D．4045

变式6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）下列函数中为奇函数的是（    ）
A． B． C． D．

变式7．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数为一次函数，若对任意的，都有，当时，函数的最大值与最小值之和为M，则M的值为（    ）
A． B．1 C．0 D．2

变式8．（2022·全国·高一课时练习）设函数为定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则等于（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．2

变式9．（2022·上海·高一专题练习）已知，，且，则（    ）
A． B． C． D．

变式10．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设,其中都是非零实数,若,那么（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．2

【方法技巧与总结】
判断函数奇偶性的方法
（1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系；
（2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法．
题型三：正余弦函数的对称问题
例7．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称

例8．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象的一个对称轴方程是（    ）
A． B． C． D．

例9．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数 D．若，则

变式11．（2022·辽宁抚顺·高一期末）函数，若方程的解为，则（    ）
A． B． C． D．

变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（    ）
A． B． C． D．

变式13．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知函数，则下列判断错误的是（    ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的值域为 D．的图象关于点对称

变式14．（2022·全国·高一课时练习）记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）
A．1 B． C． D．3

变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．若方程的两个解为 ，则（    ）
A． B． C． D．

变式16．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

变式17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

变式18．（2022·江西·高一期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ）
A． B． C． D．

变式19．（2022·北京·中关村中学高一期中）若点是函数图象的一个对称中心，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．

变式20．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（    ）
A．3 B．4 C．2 D．1

变式21．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
（1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形；
（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；
（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0．
题型四：正余弦函数的单调问题
例10．（2022·内蒙古·阿拉善左旗第一中学高一期末（文））函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．

例11．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的增区间是（    ）
A． B．
C． D．

例12．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（    ）
A． B．
C． D．

变式22．（2022·上海市新场中学高一期末）函数的单调增区间是（    ）
A． B．
C． D．

变式23．（2022·全国·高一课时练习）函数是（    ）
A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减
C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减

变式24．（2022·北京市育英中学高一期中）已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（    ）
A． B． C． D．

变式25．（2022·河南开封·高二期末（理））已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为，．则（    ）
A．
B．的图象的对称轴方程为
C．的图象的单调递增区间为
D．的解集为

变式26．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间；
第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”；
第三步：解关于的不等式．
（2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略．
题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题
例13．（2022·上海·高一期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

例14．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知函数,若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个,则实数的取值范围是(    )
A． B． C． D．

例15．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为，且在上单调，则的最大值（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8

变式27．（2022·山东枣庄·高一期末）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（   ）
A． B． C． D．

变式28．（2022·全国·高一专题练习）已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式29．（2022·河北·鸡泽县第一中学高一期末）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

变式30．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）若函数在区间上单调递增，且，则的一个可能值是（ ）
A． B． C． D．

变式31．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________

变式32．（2022·福建·高一期末）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.

变式33．（2022·上海浦东新·高一期中）已知在单调递增，则实数的最大值为______

变式34．（2022·江苏连云港·高一期末）已知（其中）的单调递增区间为，则_________.

【方法技巧与总结】
已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．
题型六：比较大小
例16．（2022·河北·鸡泽县第一中学高一阶段练习）比较，与的大小关系为______ ．

例17．（2022·甘肃天水·高一阶段练习（理））比较，，的大小_________.

例18．（2022·重庆·高一期末）已知，则的大小关系是（    ）
A． B． C． D．

变式35．（2022·全国·高一课时练习）设函数（是常数），若，则，，
之间的大小关系可能是
A． B．
C． D．

变式36．（2022·四川达州·高一期末（理））三个实数，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．

变式37．（2022·河北·邢台一中高一阶段练习）已知，则、、的大小关系为（    ）
A． B． C． D．

变式38．（2022·陕西·咸阳百灵学校高一阶段练习）若，则的大小关系是
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
比较两个三角函数值的大小
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
题型七：正余弦函数的最值与值域问题
例19．（2022·江苏·苏州市第五中学校高一阶段练习）函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．

例20．（2022·安徽六安·高一期中）已知函数f （x）＝sin，其中x∈，若f （x）的值域是，则实数a的取值范围是______．

例21．（2022·上海·曹杨二中高一期末）函数的最大值是__________.

变式39．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为.
（1）求a､b的值；
（2）求函数的最小值并求出对应x的集合.




变式40．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.




变式41．（2022·江苏省南通中学模拟预测）设，，若函数的最大值为0，最小值为，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值.




变式42．（2022·新疆·库车市伊西哈拉镇中学高一期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．




变式43．（2022·上海·复旦附中高一期中）函数的值域为_____________.

变式44．（2022·上海中学高一期中）函数在区间上的最小值是______.

变式45．（2022·广东·卓雅外国语学校高一阶段练习）若函数的值域为，则的最小值为_________

变式46．（2022·新疆·克拉玛依十三中高一阶段练习）函数的值域为___________

【方法技巧与总结】
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）．
（2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）．
（3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论．
题型八：正余弦函数的综合应用
例22．（2022·江西省万载中学高一期中）已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.




例23．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2) 有零点，求的范围.




例24．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.




变式47．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．
(1)求的值域；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围．




变式48．（2022·全国·高一课时练习）设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．




变式49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)若，函数的最大值为0，最小值为，求，的值；
(2)当时，函数的最大值为2，求的值.




变式50．（2022·全国·高一课时练习）已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.





【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）设函数(其中的大致图象如图所示， 则的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（    ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
6．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）若函数在处取得最小值3，那么的值为（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期，且当时，，则（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（    ）
A．函数是奇函数
B．函数的一个周期为
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数图象的对称轴方程为
10．（2022·河北省文安县第一中学高一阶段练习）已知是锐角，那么下列各值中可能取得的值是（    ）
A． B．1 C． D．
11．（2022·全国·高一课时练习）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．响度与振幅有关，振幅越大，响度越大，振幅越小，响度越小；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．我们听到的声音的函数是．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是（    ）
A．函数不具有奇偶性
B．函数在区间上单调递增
C．若某声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大
D．若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉
12．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知函数，则下列结论正确的有（   ）
A．
B．函数图像关于直线对称
C．函数的值域为
D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
13．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，下列结论正确的有（    ）
A． B． C． D．
14．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）已知定义在上的函数满足：，，，且当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．的值域为 D．在区间内无零点
三、填空题
15．（2022·湖北黄石·高一期末）函数在上的单调递增区间为______．
16．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．（注：不是常函数）
①；②．
17．（2022·全国·高一课时练习）函数图象的一条对称轴是直线，则可以为___________.（写出一个符合题意的值即可）
18．（2022·全国·高一课时练习）已知当时，函数取得最大值，其中，，则______．
四、解答题
19．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；




20．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知函数 其中，.
(1)求函数的值域；
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.




21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的最大值为，最小值为．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的最小值，并求出取最小值时的取值集合．




22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．




23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的值域．
请在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于原点对称，③函数在上单调递减，在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．




24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．