数学九年级上册23.5 位似图形同步测试题

位似图形

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．15

选：B．

2．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

选：A．

3．（2020秋•姜堰区期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且B为OE的中点，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5

选：C．

4．（2021•龙湾区二模）如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（　　）

A． B． C． D．

选：D．

5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（　　）

A． B． C． D．

选：B．

6．（2021•九龙坡区模拟）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB＝3OB'，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：9

选：D．

7．（2021•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9

【解】∵△ABC与△DEF位似，

∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，

∴△OBC∽△OEF，

∴，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，

故选：A．

8．（2021•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（　　）

A．（6，2） B．（6，4） C．（4，4） D．（8，4）

【解】∵正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，正方形BEFG的边长为12，

∴BC∥EF，，BC＝4，

∴△OBC∽△OEF，

∴，即，

解得，OB＝6，

∴点C的坐标为（6，4），

故选：B．

9．（2020秋•内江期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则（　　）

A． B． C． D．

【解】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，，

∴，

则（）2＝（）2，

故选：B．

10．（2021•河北模拟）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9

选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•郴州模拟）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，则S△A'B'C′＝　　．

【解】△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝2AA′．

可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，

又S△ABC＝9，

∴S△A'B'C′．

故答案为：．

12．（2019秋•双清区期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是　12　．

答案为：12．

13．（2020•海宁市一模）如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG，DG．若▱ABCD的面积为24，则△ADG的面积为　4　．

【解】连接BG，

∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，

∴点D、G、B在同一条直线上，EG∥AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，面积为24，

∴△ADB的面积为12，

∵EG∥AD，

∴，

∴，

∴△ADG的面积＝124，

故答案为：4．

14．（2020•吴江区二模）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是　　．

答案为．

15．（2020•温州三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与A1，B与B1是对应顶点．已知A（﹣6，2），A1（3，﹣1），BC＝5，则B1C1的长为　　．

【解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心，A（﹣6，2），A1（3，﹣1），

∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：，

∵BC＝5，

∴B1C1的长为：5．

故答案为：．

16．（2020•柯桥区模拟）如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　（，0）或（4，）　．

【解】（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与BF的交点，

如图所示：连接AE，交x轴于点N，

点N即为两个正方形的位似中心，

∵点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），

∴AB＝3，EF＝1，BF＝1﹣（﹣2）＝3，

∵AB∥EF，

∴△ABN∽△EFN，

∴，

∴，

解得：BN，

∴ON2，

∴两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）．

（2）当点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点时，位似中心就是AG与CE的交点，

如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，

设AG所在直线解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，3），G（2，0）代入得：

故，

解得：，

故yx；

设BH所在直线解析式为：y＝mx+n，把B（﹣2，0），H（2，﹣1）代入得：

，

故yx，

，

解得：，

故M（4，），

综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）或（4，）．

故答案为：（，0）或（4，）．

17．（2020春•椒江区校级月考）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标为　（1，2）或（﹣3，﹣2）　．

【解】对于直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，

∴点A和点B的坐标分别为（﹣1，0）、（0，1），

∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，

∴△BOC∽△B′O′C′，

∴，即，

解得，O′B′＝2，O′A＝2，

∴点B′的坐标为（1，2）或（﹣3，﹣2），

故答案为：（1，2）或（﹣3，﹣2）．

18．（2021•汝南县模拟）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为　16　．

【解】∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，

∴△ABC∽△A′B′C′，AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，

∴（）2＝（）2，

∴S△A′B′C′9＝16．

故答案为16．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•温州期末）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．

（1）在图1中以O为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．

（2）在图2中画▱ABEF，使得它与△ABC的面积相等，且E，F在格点上．

【解】（1）如图1，△A′B′C′为所作；

（2）如图2，平行四边形ABEF为所作．

20．（2021•合川区校级模拟）如图，已知△ABC和点A′．

（1）以点A′为顶点求作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，S△A′B′C′＝4S△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D′、E′、F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′、B′C′、A′C′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′．

【解】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求作．

（2）∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，

∴DEAC，EFAB，DFBC，

∵D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，

∴D′E′A′C′，E′F′A′B′，D′F′B′C′，

∵△ABC∽△A′B′C′，

∴，

∴，

∴△DEF∽△D'E'F'．

21．如图，正方形EFGH，IJKL是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点P是位似中心，其中PA＝AE＝EI．

（1）如果相似比为3，正方形ABCD的位似图形是哪个正方形？

（2）如果由正方形ABCD得到它的位似图形正方形EFGH，求其相似比．

【解】（1）∵PA＝AE＝EI，

∴PI：PA＝3：1，

所以相似比为3，正方形ABCD的位似图形是正方形IJKL；

（2）由正方形ABCD得到它的位似图形正方形EFGH，其相似比为1：2．

22．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．

（1）求证：四边形PQMN为正方形；

（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．

【解】（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，

∴四边形PQMN为矩形，

∵四边形P'Q'M'N'是正方形，

∴PN∥P′N′，

∴，

∵MN∥M′N′，

∴，

∴，

而P′N′＝M′N′，

∴PN＝MN，

∴四边形PQMN为正方形；

（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，

∵△ABC的面积＝1.5，

∴AB•AC＝1.5，

∴AB＝2，

∴BC2.5，

∵BC•AD＝1.5，

∴AD，

设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AEx，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴，即，解得x，

即PN的长为m．

23．（2021•蜀山区模拟）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为BC边上的中点，连接AD，作BE⊥AD，垂足为点E，延长BE交AC于点F，连接CE．

（1）求证：AF＝2CF；

（2）求证：CE2＝AE•BE；

（3）如图②，过点F作FG⊥BF，交BC于点G，若CE＝3，求CG长．

【解】（1）证明：如图①中，过点D作DG∥BF，交AC于点G，

∵BD＝DCBC，AB＝BC．

∵DG∥BF，

∴，

∴FC＝2FG．

∵∠BAE＝∠BAD，∠ABD＝∠AEB＝90°，

∴△AEB∽△ABD，

∴，

∴AB2＝AE•AD，同法可得BD2＝DE•AD，

∴4，

∵DG∥BF，

∴4，

∴2，

∴AF＝2FC．

（2）证明：如图①中，∵BD2＝DE•DA，CD＝BD，

∴CD2＝DE•DA，

∴，

∵∠CDE＝∠ADC，

∴△CDE∽△ADC，

∴∠DCE＝∠CAD，

∵∠DEC＝∠ACD＝45°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠CEF＝∠CED＝45°，

∴∠AEC＝∠CEB＝135°，

∴△CEB∽△AEC，

∴，

∴CE2＝AE•EB．

（3）解：如图②中，设DE＝m，则EB＝2m，AE＝4m，

∵CE2＝AE•EB，

∴9＝8m2，

∵m＞0，

∴m，

∴DB，

∴CD＝DB，

∵FG⊥BFAD⊥BF，

∴GF∥AD，

∴，

∴CGCD．

24．（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）设，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【解】（1）证明：∵DE∥AC，

∴∠DEB＝∠FCE，

∵EF∥AB，

∴∠DBE＝∠FEC，

∴△BDE∽△EFC；

（2）解：①∵EF∥AB，

∴，

∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，

∴，

解得：BE＝4；

②∵，

∴，

∵EF∥AB，

∴△EFC∽△BAC，

∴（）2＝（）2，

∴S△ABCS△EFC20＝45．