第6章 图形的相似（培优卷）-【满分计划】最新九年级数学下册阶段性复习测试卷（苏科版）

第6章   图形的相似（培优卷）

一．选择题（每小题3分，共18分）

1.下列四条线段不成比例的是（　　）

A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=，b=8，c=5，d=15

C．a=，b=2， c=3，d= D．a=1，b=，c=，d=

【答案】C

【解析】解：A．2×6=3×4，能成比例，本选项不符合题意；

B．，能成比例，本选项不符合题意；

C．任两组数的积均不相等，故这四条线段不成比例，本选项符合题意；

D．，能成比例，本选项不符合题意；

故选：C．

2.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　）

A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25

【答案】A

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，

所以DEAB，DC=BA，

所以△DEF∽△BAF，

所以，，

所以，

所以==4：10：25，

故选A．

3.如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（   ）

A．3 B．4 C．6 D．9

【答案】B

【解析】∵，∴．

由旋转的性质可知，∴．

又∵，∴，∴，即，∴．

故选B．

4.如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形与矩OABC关于点O位似，且矩形与矩OABC的位似比为，那么点的坐标是(   )

A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)

【答案】D

【解析】解：∵矩形与矩形OABC关于点O位似，位似比为：，

∵点B的坐标为(-4，6)，

∴点的坐标是：(-2，3)或(2，-3)．

故选：D．

5.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADB=∠BAC=120°，AC=2AB，AD=4，则DC的长为（    ）

A． B．8 C． D．12

【答案】D

【解析】解：∵∠B=∠B，∠ADB=∠BAC=120°，

∴△BDA∽△BAC，∴，

∵AC=2AB，AD=4，∴AD=2BD=4，∴BD=2，

过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠ADB=120°，∴∠ADE=60°，∠DAE=30°，

∴DE=AD=2，由勾股定理得：AE=，∴BE=BD+DE=4，

∴AB=，

∵AC=2AB=4，

在Rt△ACE中，AC=4，AE=2，

∴由勾股定理得：CE=，∴DC=DE+CE=12．

故选：D．

6.如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与，，，，分别交于点，，，，，设，，的面积依次为，，．若，则的值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【解析】解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，

∴，∴∠AED=∠EGF=∠GBH，∴∠DEF=∠FGH=∠HBC，

∵FEHGBC，∴∠AQE=∠AMG=∠ACB，∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，

∵QEMG，∴△AEQ∽△AGM，∴

∵MGCB，∴△AGM∽△ABC，∴则

∵∴∴，

故选D．

二．填空题（每小题2分，共20分）

7.已知线段b是线段a、c的比例中项，且，那么_____．

【答案】6

【解析】解：若b是a、c的比例中项，

即．则．

故答案为：6

8.已知线段l的长度为，点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，则___________．

【答案】

【解析】解：如图，

∵点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，，∴，

∴．

故答案为：

9.如果，那么＝_____．

【答案】8

【解析】解：，，，

故答案为：8．

10.如图，直线，若，，则的长为________．

【答案】12

【解析】解：∵直线，∴，即，解得：DF=12，

故答案为：12．

11.如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．

【答案】

【解析】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可．

如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝．

故答案为：．

12.如图，，AB＝a，CD＝b，．则EF＝_____．

【答案】

【解析】如图，连接BD，交EF于点G．

∵，，∴．

∵，∴，∴，即，∴．

∵，∴，∴，即，∴，

∴．

故答案为：．

13.如图，，若 AC  8 ， BD  12 ，则 EF ___________．

【答案】

【解析】解：∵，∴△BEF∽△BCA，∴，

∵，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，

即，∴，

∵AC  8 ， BD  12 ，∴，解得：．

故答案为：

14.如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE＝2：3时，则的值为______．

【答案】

【解析】如下图所示，连接AG并延长与BC交于点D．

设GF＝2a，则GE＝3a，

∵四边形CEGF是矩形，∴EG//CD，CE＝FG＝2a，EG＝CF＝3a，∴△AEG∽△ADC，

∴AG：AD＝AE：AC＝GE：DC，

∵点G是Rt△ABC的重心，∴AG：AD＝2：3，BC＝2CD．

∴AE：AC＝EG：DC＝2：3，即（AC﹣2a）：AC＝3a：CD＝2：3，

∴CD＝4.5a，AC＝6a，BC＝9a．，

故答案为：．

15.如图，在中，，点D是的中点，点E在边上从点A出发，以1cm/秒的速度沿着A→B的方向运动，运动到点B后停止，联结，当与相似时，运动时间是______秒．

【答案】或

【解析】解：∵，∴＝＝3（cm），

∵，D是的中点，∴（cm），

设运动时间是t秒时，与相似，

若，∴，∴（cm），∴；

若，∴，∴，∴（cm），∴t＝；

故答案为：或．

16.如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将沿直线翻折得到．若点C在反比例函数的图象上，则____________．

【答案】

【解析】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于E，

在一次函数中，

令y＝0，即，解得：x＝1，

令x＝0，可得，∴A（1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，

由折叠的性质得：AC＝OA＝1，BC＝OB＝2，∠ACB＝∠AOB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，

∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，

又∵∠ADC＝∠E＝90°，∴，∴，∴CE＝2AD，EB＝2DC，

设C（a，），则CD＝，OD＝a，∴AD＝a－1，CE＝2－，EB＝a，

由EB＝2DC得：a＝，即，

由CE＝2AD得：2－＝2（a－1），∴2－＝2（a－1），

解得：，∴，

故答案为：．

三．解答题（共62分）

17.（6分）如图，在中，，分别交边，于点D，E，，，垂足分别为M，N，且，，，求的面积．

【答案】

【解析】解：∵，，∴∠DMN=∠ENM=∠ENB=90°．

∵，∴∠NED=∠MDE=90°，∴四边形MNED是矩形，∴NE=DM．

∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BEN=90°，∴∠A=∠BEN．

∵∠ENB=∠DMA=90°，∴△BEN∽△DAM，∴，

∵，，BE=，∴．

设，则x(x+16)=16×45，∴，

解得x=20或x=-36（舍去），∴NE=．∴BE=，∴CE=14-6=8．

∵∠CED+∠BEN=90°， ∠B+∠BEN=90°，∴∠CED=∠B．

∵∠ENB=∠C=90°，∴△BEN∽△EDC，∴，∴，∴CD=，

∴的面积=．

18.（8分）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．

(1)画出绕点B顺时针旋转90°后的；

(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为_______．

(3)以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出放大后的．

【答案】(1)图见解析；(2)；(3)图见解析

【解析】（1）如图，找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接B，则即为所求；

（2）由题意得，点M与点乙在图上标出，

由图可知，，

∵点M是的中点，∴经过旋转点也是的中点，∴，∴，

故答案为：．

（3）如图，延长至，至，使得，，连接，则即为所求．

19.（8分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．

(1)当移动几秒时，的面积为？

(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？

【答案】(1)3秒；(2)3秒或秒

【解析】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6−t，BQ＝2t，

由题意得：＝PB·BQ＝（6−t）·2t＝＝9，解得：，

答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；

（2）分两种情况：

①当△BPQ∽△BAC时，

则，即，解得：，

②当△BPQ∽△BCA时，

则，即，解得：，

综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．

20.（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．

(1)求证：AB＝CD；

(2)延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】（1）证明：∵∴＝，

∵∠DCG＝∠DCF，∴△CDG∽△CFD，∴∠CDG＝∠CFD，

∵∠AED＝∠CFD，∴∠CDG＝∠AED，∴，

∵，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD；

（2）如图：

∵CF＝CM，∴∠CFD＝∠M，

∵∠AED＝∠CFD，∴∠AED＝∠M，

∵，∴∠A＝∠CDM，∴，∴＝，∴AE•DC＝AD•DM，

∵AB＝DC，∴EA•AB＝AD•MD．

21.（10分）如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点E，连接BE，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)如图2，延长ED交直线AB于点P，若．

①求的值；

②若，求⊙O的半径长．

【答案】(1)见解析；(2)①=2；②⊙O的半径长为

【解析】（1）证明：∵AB是直径，∴，∴，

∵，，∴，∴，∴，

∴，∴BC是⊙O的切线．

（2）解：①如图2中，连接OD．

∵BD平分，∴，

∵，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，

②∵，，∴，，

∵，，∴，∴，

∵，∴，∴，

∴⊙O的半径长为．

22.（10分）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，过点D作DE的垂线与直线AC交于点F，连结EF．求证：AF=BE．

探究过程：经过分析小明发现，△ADF≌△BED，然后根据全三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到AF=BE．

请你根据小明的探究过程解决以下问题：

(1)探索发现：如图2，若点E为边AB延长线上一点，其他条件不变，AF与BE还相等吗？请说明理由．

(2)类比迁移：如图3，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，以DE为一边作∠EDF=60°，交直线AC于点F，且AE=2AF．请你依据题意补全图形，若AB=4，求AF的长．

【答案】(1)AF与BE相等，见解析；(2)AF长为

【解析】（1）解：AF与BE相等，理由如下：

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠CBA=45°，∴∠CBE=135°；

∵点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=DB，∠CAD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∠DAF=135°，

∵DE⊥DF，∴∠FDE=90°，∴∠ADF=∠EDB，

又∵∠CBE=∠DAF=135°,

在△DAF和△DBE中

∴△DAF≌△DEB,∴AF=BE;

（2）解：分两种情况讨论:

①如图1：当点F在AC边上时，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=4，∠CAD=∠BAD=30°，

∴∠BED+∠BDE=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠BED=∠CDF，

∵∠B=∠C=60°，∴△CFD∽△BDE，∴，

∵D是BC的中点，∴CD=BD=2，

∵AE=2AF． ∴，∴，

此时，或（舍去）；

②如图2，当点F在AC边延长线上时，

∵等边三角形ABC，D为BC中点，

∴ DA⊥BC，CD=BD=2，∠B=∠C=60°，∴∠FAD=150°，∴∠F+∠ADF=30°，

∵∠FDE=60°，∴∠BDE+∠ADF=30°，∴∠F=∠BDE，

又∵ ∠B=∠C=60°，∴△CFD∽△BDE，∴，∴，∴，

 解得：或（舍去），

综上所述：AF长为．

23.（10分）正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE 与BF延长线交于点G．

(1)如图1，求证AE⊥BF；

(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明；

(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____ ．

【答案】(1)见解析；(2)，证明见解析；(3)1，

【解析】（1）解：证明：如图1，

四边形是正方形，，，，

，，，

，，，，

，．

（2），

证明：如图2，连接，作交于点，

，，

，，

，，

，，

，

，

，，，

，

，，

，，

，

．

（3）如图3，设，，

，，

，，，

，，，，

当时，，

当，达到最大值，最大值是，