初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线同步练习题

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2021-2022学年七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
5.1 相交线
题型导航

相
交
线

利用邻补角求角
题型1
对顶角的判别
题型2
利用垂直求角
题型3
同位角、内错角、同旁内角的判别
题型4

题型变式
【题型1 利用邻补角求角】（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，直线和相交于点是一条射线．

（1）写出的邻补角：__________________；
（2）写出的邻补角：__________________；
（3）写出的邻补角：__________________；
（4）写出的对顶角：___________________．
【答案】
【分析】
邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可．
【详解】
解：根据邻补角的定义得，
（1）的邻补角：；
（2）的邻补角：；
（3）的邻补角：；
（4）根据对顶角的定义得，的对顶角：，
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
【点睛】
本题考查邻补角的定义、对顶角的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式1-1】（2021·新疆塔城·七年级期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．

【答案】∠AOD、∠BOC 50° 130°
【分析】
根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答案．
【详解】
解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD；
∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵∠COB是∠AOC邻补角，
∴∠COB=180°-∠AOC=130°．
故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130°
【点睛】
本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关键．


【题型2 对顶角的判别】（2021·全国·七年级专题练习）下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．
【详解】
解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；
②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；
③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；
④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．
∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，
故选C．
【点睛】
此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．
【变式2-1】（2021·全国·七年级课时练习）如图，直线，，相交于点．

（1）写出，的邻补角；
（2）写出，的对顶角；
（3）如果，求，的度数．
【答案】（1）的邻补角是和，的邻补角是和；
（2）的对顶角是，的对顶角是；
（3），．
【分析】
(1)根据邻补角定义“只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角”进行分析；
(2)根据对顶角定义“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线”进行分析即可；
(3)根据邻补角互补、对顶角相等可得答案．
【详解】
解：(1)由图及题意可知：∠AOC的邻补角是∠COB，∠AOD；
∠BOE的邻补角是：∠AOE，∠BOF；
(2)∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是∠DOF；
(3)∵∠AOC=50°，由对顶角相等可知：
∴∠BOD=50°，
由邻补角互补可知：
∠COB=180°-∠BOD =180° - 50°=130°．
【点睛】
本题考查了邻补角及对顶角的定义，掌握邻补角及对顶角的概念是解决本题的关键．
【题型3 利用垂直求角】（2021·全国·七年级专题练习）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40°，则∠EOF=_______．

【答案】130°
【分析】
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．
【详解】
解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=40°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=40°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．
故答案为130°．
【点睛】
本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
【变式3-1】（2021·山东·平原县育才中学七年级期中）如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，，求∠DOF和∠FOC的度数．

【答案】（1）∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠DOF= 30°，∠FOC=150°
【分析】
（1）根据邻补角的定义可得结论；
（2）根据对顶角的定义可得结论；
（3）根据角的互余和互补，计算得解．
【详解】
（1）∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD；
（2）∠COE的对顶角为∠DOF，∠BOE的对顶角为∠AOF；
（3）∵，
∴∠BOF=90°，
∴∠DOF= 90°-60°=30°，
∵∠DOF与∠FOC互为邻补角，
∴∠FOC=180°-30°=150°．
【点睛】
本题考查邻补角、对顶角及余角和补角之间的关系，关键是理解并掌握互余、互补、邻补角、对顶角之间的角度和位置关系．
【题型4 同位角、内错角、同旁内角的判别】（2021·广东惠来·七年级期末）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（　　）

A．和互为补角 B．和是同位角
C．和是内错角 D．和是对顶角
【答案】C
【分析】
根据同位角、内错角、邻补角、对顶角的定义求解判断即可．
【详解】
解：A、和是邻补角，故此选项不符合题意；
B、和是同位角，故此选项不符合题意；
C、和不是内错角，故此选项符合题意；
D、和是对顶角，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了同位角、内错角、对顶角以及邻补角的定义，熟记同位角、内错角、邻补角、对顶角的定义是解题的关键．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．
【变式4-1】（2022·全国·七年级）如图，

（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；
（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；
（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；
（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角；
（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角．
【答案】BD（BC） 同位 AC 内错 AB AC BC 同旁内 AB AC BC 同位 AB CE BC 同旁内
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可；
【详解】
（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角；
（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角；
（3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角；
（4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角；
（5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角．
故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内．
【点睛】
本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键．




专项训练

一．选择题
1．（2021·河北阜城·七年级期中）已知如图①～④，其中与是同位角的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．
【详解】
解：图①中∠1与∠2是同位角，
图②中∠1与∠2不是同位角，
图③中∠1与∠2是同位角，
图④中∠1与∠2不是同位角，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．
2．（2021·吉林·长春市第一〇八学校七年级阶段练习）如图，O为直线AB上一点，∠COB＝36°12'，则∠AOC的度数为（　　）

A．164°12' B．136°12' C．143°88' D．143°48'
【答案】D
【分析】
根据邻补角及角度的运算可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠COB＝36°12'，
∴∠AOC=180°-∠BOC=143°48'，
故选D．
【点睛】
本题主要考查邻补角及角度的运算，熟练掌握邻补角及角度的运算是解题的关键．
3．（2021·新疆·奇台县第四中学七年级期中）下列图中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据对顶角的定义可逐项判断求解．
【详解】
解：，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意；
，和符合对顶角定义，故是对顶角，符合题意；
，和，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意；
，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义即：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义．
4．（2021·山东庆云·）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠COE＝65°，则∠BOD为（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义求得；然后根据余角的定义可以推知；最后由对顶角的性质可以求得．
【详解】
解：，
；
又，
，
（对顶角相等）．
故选：．
【点睛】
本题考查了垂线、对顶角与邻补角等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
5．（2021·江苏·）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠BOD＝42°，则∠EOD的度数为（　　）

A．96° B．94° C．104° D．106°
【答案】A
【分析】
根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝42°，由于OA平分∠COE，可得∠AOE的度数，再由平角的定义可求出∠EOD的度数．
【详解】
解：∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠AOC＝42°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝42°，
∴∠EOD＝180°−（∠AOE＋∠BOD）＝180°−（42°＋42°）＝96°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．
6．（2022·全国·）如图所示，AB，CD相交于点M，ME平分，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出，再根据角平分线的性质得到，由此即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵ME平分，
∴，
∴
故选C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二、填空题
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝3∠AOC，则∠BOD＝________．

【答案】67.5°
【分析】
根据垂直的定义得到∠AOB=90°，可利用互余得∠AOC+∠BOD=90°，把∠AOC=∠BOD代入可计算出∠BOD．
【详解】
解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∵∠COD=180°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠BOD=3∠AOC，
∴∠BOD+∠BOD=90°，
∴∠BOD=67.5°．
故答案为67.5°．
【点睛】
本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
8．（2021·河南濮阳·）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，则∠BOD的大小为 _____．

【答案】18°
【分析】
根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．
【详解】
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝36°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝54°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
9．（2022·全国·）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40°，则∠EOF=_______．

【答案】130°
【分析】
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．
【详解】
解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=40°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=40°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．
故答案为130°．
【点睛】
本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
10．（2021·全国·七年级）如图，在直线AB上有一点O，OC⊥OD，OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°时，∠AOC＝___°．

【答案】50
【分析】
先求出∠BOD，根据平角的性质即可求出∠AOC．
【详解】
∵OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°
∴∠BOD=2∠DOE＝40°
∵OC⊥OD，
∴∠AOC=180°-90°-∠BOD=50°
故答案为：50．
【点睛】
此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、直角的性质．
11．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，且∠GOB＝20°，∠AOC＝40°，则∠COE＝_____°．

【答案】30°
【分析】
先根据对顶角得到∠BOD=40°，再根据垂直的定义得到∠EOG=∠FOG=90°，求出∠DOF，最后根据对顶角求出∠COE．
【详解】
解：∵∠AOC=40°，
∴∠BOD=40°，
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=∠FOG=90°，
∵∠GOB=20°，
∴∠BOF=70°，
∴∠COE=∠DOF=70°-40°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，对顶角的性质；弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
12．（2022·全国·七年级）如图：

（1）∠A和∠5是直线______和直线_____被直线_______所截而成的，∠A和∠4是直线_____和直线_____被直线_____所截而成的，∠1和∠8是直线_____和直线_____被直线___________所截而成的.
（2）指出图中所有的同位角__________，________________；指出图中所有的内错角_______，________________；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据三线八角进行解答；
（2）根据同位角、内错角的概念进行解答；
【详解】
解：如图，
（1）∠A和∠5是直线AB和直线DE被直线AC所截而成的，∠A和∠4是直线AC和直线DE被直线AB所截而成的，∠1和∠8是直线AB和直线AC被直线DE所截而成的；
（2）同位角是：∠1和∠8，∠2和∠5，∠4和∠7，∠3和∠6，
内错角是：∠4和∠5，∠3和∠8.
【点睛】
本题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
三、解答题
13．（2021·安徽宣城·）如图，OA⊥OB于点O，∠AOD：∠BOD＝7：2，点D、O、E在同一条直线上，OC平分∠BOE，求∠COD的度数．

【答案】100°
【分析】
由垂直的定义结合两角的比值可求解∠BOD的度数，即可求得∠BOE的度数，再利用角平分线的定义可求得∠BOC的度数，进而可求解∠COD的度数．
【详解】
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOD：∠BOD＝7：2，
∴∠BOD＝∠AOB＝20°，
∴∠BOE＝180°﹣∠BOD＝160°．
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOC＝∠BOE＝80°，
∴∠COD＝∠BOC+∠BOD＝80°+20°＝100°．
【点睛】
本题考查了角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，结合垂直的定义和两角的比值求出∠BOD的度数是解题的关键．
14．（2021·广东·东莞市东华初级中学七年级期中）如图，AB交CD于O，OE⊥AB．
（1）若，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC∶∠BOC＝1∶2，求∠EOD的度数．

【答案】（1）62°；（2）30°
【分析】
（1）利用垂直及平角即可求得∠AOC的度数；
（2）根据∠AOC＋∠BOC＝180°求得∠AOC的度数，再由平角即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
又∵∠EOD＝28°，∠EOD＋∠AOE＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝180°－∠EOD－∠AOE＝180°－28°－90°＝62°；
（2）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＋2∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠EOD＝180°－∠AOC－∠AOE＝180°－60°－90°＝30°．
【点睛】
本题考查了角的计算，熟练掌握垂直的定义，平角的定义是解题的关键．
15．（2021·江苏盐都·七年级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．
（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．

【答案】（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分线，理由见解析
【分析】
（1）根据互为余角的意义和对顶角的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，进而求出∠BOG；
（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．
【详解】
解：（1）∵OG⊥CD．
∴∠GOC＝∠GOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，
∴∠BOG＝90°﹣38°12′＝51°48′，
（2）OG是∠EOB的平分线，
理由：
∵OC是∠AOE的平分线，
∴∠AOC＝∠COE＝∠DOF＝∠BOD，
∵∠COE+∠EOG＝∠BOG+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOG，
即：OG平分∠BOE．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．
16．（2021·浙江衢州·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．
（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数．
（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．

【答案】（1）25°；（2）α=2β
【分析】
（1）先根据平角的定义得：∠COE=130°，由角平分线的定义和垂线的定义可得∠BOF的度数；
（2）根据（1）中的过程可得结论．
【详解】
解：（1）∵∠DOE=50°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°；
（2）∵∠DOE=α，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，
即α=2β．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，以及邻补角的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义是关键．
17．（2021·广东·江南外国语学校）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．

【答案】（1）33°；（2）72°；（3）
【分析】
（1）根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，最后根据求解．
（2）利用角平分线定义得出，，进而表示出各角求出答案．
（3）由（1）知，计算即可求解．
【详解】
解：（1），
又平分，
．
，
平分，
，
．
（2）平分，平分，
，，
设，则，
故，，
则，
解得：，
故．
（3）由（1）知




，
即．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
18．（2021·吉林双阳·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．

【答案】（1）∠AOF的余角是：∠COE或∠BOC或∠AOD；∠AOF的补角是∠BOF；（2）30°；（3）∠AOF=∠EOF，理由见解析
【分析】
（1）由OC⊥CD，可得∠DOF=90°，则∠AOF+∠AOD=90°，由对顶角相等得∠BOC=∠AOD，则∠AOF+∠BOC=90°，由OC平分∠BOE，可得∠COE=∠BOC，∠AOF+∠COE=90°；由∠AOF+∠BOF=180°，可得∠AOF的补角是∠BOF；
（2）由OC平分∠BOE，∠BOE=60°，可得∠BOC=30°，再由∠AOD=∠BOC，即可得到∠AOD=30°；
（3）由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE，再由OF⊥OC，得到∠DOF=∠COF=90°，则∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°，即可推出∠AOF=∠EOF．
【详解】
解：（1）∵OC⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠AOF+∠AOD=90°，
又∵∠BOC=∠AOD，
∴∠AOF+∠BOC=90°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠BOC，
∴∠AOF+∠COE=90°；
∴∠AOF的余角是，∠COE，∠BOC，∠AOD；
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF的补角是∠BOF；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE=60°，
∴∠BOC=30°，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=30°；
（3）∠AOF=∠EOF，理由如下：
由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE，
∵OF⊥OC，
∴∠DOF=∠COF=90°，
∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°，
∴∠AOF=∠EOF．
【点睛】
本题主要考查了与余角、补角有关的计算，等角的余角相等，垂线的定义，解题的关键在于熟知余角与补角的定义：如果两个角的相加的度数为90度，那么这两个角互余，如果两个角相加的度数为180度，那么这两个角互补．