初中数学5.2.1 平行线课时练习

这是一份初中数学5.2.1 平行线课时练习，文件包含52平行线及其判定解析版-最新七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练人教版docx、52平行线及其判定原卷版-最新七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
5.2平行线及其判定
题型导航
平行公理及推论

平
行
线
及
其
判
定

同位角相等，两直线平行.
题型1
内错角相等，两直线平行.

题型2
同旁内角互补，两直线平行.

题型3
三种判定方法同时考查
题型4
题型5

题型变式

【题型1 平行公理及推论】（2021·全国·七年级课时练习）下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】
(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】
本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
【变式1-1】（2021·全国·七年级专题练习）若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（ ）．
A．平行的性质 B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据平行公理的推论进行判断即可．
【详解】
解：直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是平行于同一直线的两条直线平行，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行公理的推论，解题关键是明确平行于同一直线的两条直线平行．
【变式1-2】（2021·全国·七年级课时练习）（1）平行公理是：________________________________．
（2）平行公理的推论是如果两条直线都与______________，那么这两条直线也________．即三条直线，若，则_________．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 第三条直线平行 平行
【分析】
根据平行公理以及平行公理的推论解答即可．
【详解】
（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线，若，则．
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，．
【点睛】
本题主要考查了平行公理以及平行公理的推论，属于基础题，掌握平行公理以及平行公理的推论是解题的关键．
【题型2 同位角相等，两直线平行】（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

【答案】平行
【分析】
根据∠2:∠3＝1:5，求出的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可．
【详解】
解：∵∠2:∠3＝1:5，
∴∠2＝30°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
故答案为：平行．
【点睛】
本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出∠2＝30°是解本题的关键．
【变式2-1】（2021·山东寒亭·七年级期中）如图，用直尺和三角尺画图：已知点和直线，经过点画直线，使，其画法的依据是_______．

【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】
根据同位角相等两直线平行判断即可．
【详解】
解：如图，

∵∠BPM＝∠BQN，
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键读懂图象信息，属于基础题型．
【题型3 内错角相等，两直线平行】（2021·广东南沙·七年级期中）如图，直线a与直线b 、c分别相交于点A、B，当Ð1＝_____________时， c∥b．

【答案】∠3
【分析】
根据图形和平行线的判定方法，可以得到当∠1=∠3时，c∥b，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
当∠1=∠3时，c∥b，
故答案为：∠3．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-1】（2022·全国·七年级）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明．

证明：∵AC平分∠DAB（_______），
∴∠1＝∠______（________），
又∵∠1＝∠2（________），
∴∠2＝∠______（________），
∴AB______（________）．
【答案】已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.
【详解】
证明：∵AC平分∠DAB(已知)，
∴∠1＝∠ 3 (角平分线的定义)，
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＝∠ 3 (等量代换)，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．
故答案为：已知；3；角平分线的定义；已知；3；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行
【点睛】
本题主要考查平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.
【题型4 同旁内角互补，两直线平行】（2020·浙江浙江·七年级开学考试）如图直线a，b被直线c所截，若，则的理由是_____．

【答案】同旁内角互补，两直线平行
【分析】
由图形可知，∠1和∠2是直线a，b被直线c所截而成的同旁内角，因为∠1+∠2=180°，所以a∥b．
【详解】
解：∵∠1+∠2=180°（已知），
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题比较简单，考查的是平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行．
【变式4-1】（2022·全国·七年级）已知：如图，直线AB、CD被直线GH所截，，求证： ABCD．完成下面的证明：

证明：∵AB被直线GH所截，
∴_____
∵
∴______
∴______________（________）（填推理的依据）．
【答案】3 180° AB CD 同旁内角互补，两直线平行
【分析】
先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．
【详解】
证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112°，
∴∠1=∠3=112°
∵∠2=68°，
∴∠2+∠3=180°，
∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为∠3，180°，AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【变式4-2】（2021·湖南宁乡·七年级期末）在同一平面内有三条直线若则_____________（填位置关系）
【答案】∥
【分析】
根据平行线的判定得出即可．
【详解】
解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
故答案为：∥．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定定理进行推理是解此题的关键．
【题型5 三种方法同时考查】（2021·吉林珲春·七年级期中）如图，下列条件中，不能判断∥的是（ ）

A．∠1=∠3 B．∠2=∠4 C．∠4+∠5=180° D．∠3=∠4
【答案】D
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：、，内错角相等，
，故本选项错误，不符合题意；
、，同位角相等，
，故本选项错误，不符合题意；
、，同旁内角互补，
，故本选项错误，不符合题意；
、，它们不是内错角或同位角，
与的关系无法判定，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识．
【变式5-1】（2021·福建·泉州五中七年级期末）如图，下列条件能判断直线l1//l2的有（ ）
①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据平行线的判定定理进行依次判断即可．
【详解】
①∵∠1，∠3互为内错角，∠1=∠3，∴；
②∵∠2，∠4互为同旁内角，∠2+∠4=180° ，∴；
③∠4，∠5互为同位角，∠4=∠5，∴；
④∠2，∠3没有位置关系，故不能证明 ，
⑤，，
∴∠1=∠3，
∴，
故选D．
【点睛】
此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理．









专项训练

一．选择题
1．（2021·全国·七年级课时练习）下列说法：
（1）两条不相交的直线是平行线；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）在同一平面内两条不相交的线段一定平行；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（5）两点之间，直线最短；
其中正确个数是（   ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面内相交线和平行线的基本性质逐项分析即可．
【详解】
解：（1）在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（3）在同一平面内两条不相交的线段不一定平行，故原说法错误；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法正确；
（5）两点之间，线段最短，故原说法错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查平面内两直线的关系，及其推论等，掌握基本概念和推论是解题关键．
2．（2021·四川雅安·）如图，下列条件中不能判定a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠3＝180°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∠1＝∠2，同位角相等，两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
B、∠1＝∠4，可得∠1＝∠2，再根据同位角相等，两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
C、∠1+∠2＝180°，不能判定a∥b，符合题意；
D、因为∠3+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，可得∠1＝∠2，再根据同位角相等，两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
3．（2021·全国·）如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（ ）

A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理分析即可．
【详解】
A、∠A和∠ACE是AB与CE被AC所截形成的内错角，则∠A＝∠ACE时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
B、∠B和∠ACE不属于AB与CE被第三条直线所截形成的任何角，则∠B＝∠ACE时，无法推出AB∥CE，符合题意；
C、∠B和∠ECD是AB与CE被BD所截形成的同位角，则∠B＝∠ECD时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
D、∠B和∠BCE AB与CE被BD所截形成的同旁内角，则∠B+∠BCE＝180°时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．
4．（2021·四川苍溪·）如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C
C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件是否符合题意，本题得以解决．
【详解】
解：当∠1=∠2时，AC∥EF，故选项A不符合题意；
当∠4=∠C时，AC∥EF，故选项B不符合题意；
当∠1+∠3=180°时，BC∥DE，不能判断AC∥EF，故选项C符合题意；
当∠3+∠C=180°时，AC∥EF，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2021·辽宁凌海·）如图所示，已知，若要使，则还需添加条件（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据∠3=∠4，若要使得∠1=∠2，即要得到∠3+∠2=∠1+∠4，∠BAD=∠ADC，从而要AB∥CD，由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：添加条件AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠3=∠4，∠3+∠2=∠ADC，∠1+∠4=∠BAD，
∴∠1=∠2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．
二、填空题
6．（2021·甘肃兰州·）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．

【答案】 内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
【详解】
解：一副三角板如图摆放，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
7．（2021·湖北青山·）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件______．

【答案】①；②；③；④这四个条件中任一个即可
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理进行填空．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．
【详解】
解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠1=∠2；
由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠A=∠CDE；
由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件或；
综上所述，满足条件的有：
①；②；③；④，
故填：①；②；③；④这四个条件中任一个即可．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
8．（2021·黑龙江碾子山·）如图，给出下列四个条件：①AC=BD；②∠DAB=∠BCA；③∠ABD= ∠CDB；④∠ADB=∠CBD其中能使AD∥BC的条件是_______．

【答案】④
【解析】
【分析】
根据内错角相等两直线平行可得．
【详解】
解：④由∠ADB=∠CBD可得AD∥BC，
故答案是：④．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定，掌握内错角相等两直线平行是解题的关键．
9．（2021·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室）如图，直线被所截，下列条件：①；②；③，其中能判断的一个条件是_________．

【答案】①
【解析】
【分析】
根据平行线的判定方法同位角相等，两直线平行进行判定．
【详解】
解：∵，∴（同位角相等，两直线平行）
而或均不能判定
故答案为：①．
【点睛】
本题考查平行线的判定，理解平行线的判定方法正确推理论证是解题关键．
10．（2021·全国·）如图，点在延长线上，四个条件中：①；②，③；④；⑤，能判断的是______．（填序号）．

【答案】②③
【解析】
【分析】
根据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】
解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5=180°，∵∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥DC；
③∵∠4=∠B，∴AB∥DC；
④∠B=∠D无法判断出AD∥BC；
⑤∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．
故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
三、解答题
11．（2022·全国·）如图，当时，直线，平行吗？当时，直线，平行吗？为什么？

【答案】当时，，理由见解析；当时，，理由见解析
【解析】
【分析】
当时，根据对顶角相等，可得，即可求证；当时，根据邻补角的定义，可得，即可求证．
【详解】
解：当时，
∵和互为对顶角，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵和互为邻补角，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，邻补角的定义，根据题意找到对顶角相等，邻补角的定义是解题的关键．
12．（2021·全国·）如图，潜望镜中的两个镜片都是与水平面成45°角放置的，这样的设计就可以保证下面人的视线和上面的光线是平行的．你能说明其中的道理吗？

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据光的入射角等于反射角，则，进而可得，根据内错角相等，两直线平行，即可判断．
【详解】
光的入射角等于反射角，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，根据题意得出是解题的关键．
13．（2022·全国·）如图，点在上，，，于点．问吗？为什么？

【答案】，见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件求出关于直线CD，AB的内错角的度数，看它们是否相等，以此来判断两直线是否平行．
【详解】
解：，理由如下．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，垂线定义，周角补角的定义，比较简单．
14．（2021·江西九江·七年级期末）如图，已知，，．试说明．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．

证明：∵___________
，（________）
，．
又
∴_________
（________）
【答案】，；垂直定义；；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定定理补全证明过程即可
【详解】
证明：，，
，．（垂直定义）
，．
又，
，（等角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查了垂直的定义，平行线的判定定理，等角的余角相等，掌握垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定定理是解题的关键．
15．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）完成下面的证明：
已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．


证明：∵AB⊥AC（已知）
∴∠　 　＝90°（ 　 　）
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）
∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　）
即∠　 　+∠B＝180°
∴AD∥BC（ 　 　）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先根据垂直的定义可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵，（已知），
∴（等量关系），
即，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【点睛】
本题考查了垂直、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
16．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？

观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
解∵∠1＝60°（已知）
∠ABC＝∠1 （①　 　）
∴∠ABC＝60°（等量代换）
又∵∠2＝120°（已知）
∴（②　 　）+∠2＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD （③　 　）
又∵∠2+∠BCD＝（④　 　°）
∴∠BCD＝60°（等式的性质）
∵∠D＝60°（已知）
∴∠BCD＝∠D （⑤　 　）
∴BC∥DE （⑥　 　）
【答案】对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】
先求出∠ABC＝60°，即可证明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D 即可证明BC∥DE．
【详解】
解∵∠1＝60°（已知）
∠ABC＝∠1 （对顶角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代换），
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质），
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （等量代换），
∴BC∥DE （内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．
17．（2021·湖北咸丰·七年级期末）补全下列推理过程：已知：如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，求证：AB∥CD．

证明：∵CE平分∠BCD（______）
∴∠1＝_____（_______）
∵∠1＝∠2＝70°（已知）
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（________）
∴AD∥BC（________）
∴∠D＝180°－_______＝180°－∠1－∠4＝40°
∵∠3＝40°（已知）
∴______＝∠3
∴AB∥CD（_______）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由已知CE平分∠BCD可得∠1＝ ∠4，利用等式的性质得出∠1＝∠2＝∠4＝70°，根据直线判定定理得出AD∥BC，利用平角定义求出∠D＝180°－∠BCD即可．
【详解】
证明：∵CE平分∠BCD（ 已知 ），
∴∠1＝ ∠4 （ 角平分线定义 ），
∵∠1＝∠2＝70°已知，
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝180°－∠BCD＝180°－∠1－∠4＝40°，
∵∠3＝40°已知，
∴ ∠D ＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：已知；∠4 ，角平分线定义 ；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠BCD；∠D；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线判定，角平分线定义，平角，掌握平行线判定方法，角平分线定义，平角是解题关键．
18．（2021·全国·七年级课时练习）完成下面的证明：
如图，平分，平分，且，求证．


证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
∵平分（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
【答案】角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．
【详解】
解：平分（已知）
∴（角平分线的定义）
平分（已知）
∴2∠β（角平分线的定义）
∴（等式性质）
（已知）
∴180°（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．
19．（2021·北京·北大附中）已知：∠AOB及∠AOB内部一点P．
（1）过点P画直线PC∥OA交OB于点C；
（2）过点P画垂线PD⊥OB于点D；
（3）测量∠AOB与∠CPD的度数，并猜想∠AOB与∠CPD的数量关系是 　 　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠AOB=44°，∠CPD=46°．∠AOB+∠CPD=90°
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的定义画出图形即可．
（2）根据垂线的定义画出图形即可．
（3）利用量角器测量角的大小即可．
【详解】
解：（1）如图，直线PC即为所求．
（2）如图，直线PD即为所求．
（3）测量可得：∠AOB=44°，∠CPD=46°．
猜想：∠AOB+∠CPD=90°．

理由如下：




故答案为：∠AOB+∠CPD=90°．
【点睛】