数学七年级下册6.3 实数精练

这是一份数学七年级下册6.3 实数精练，文件包含63实数解析版-最新七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练人教版docx、63实数原卷版-最新七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
6.3实数
题型导航

实

数

实数的概念理解
题型1
实数的分类
题型2
实数与数轴及大小比较
题型3
程序设计与实数运算
题型4
新定义下的实数运算
题型5
与实数运算相关的规律题
题型6

题型变式

【题型1实数的概念理解】（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．都是无理数 B．无理数包括正无理数、零、负无理数
C．数轴上的点表示的数是有理数 D．绝对值最小的数是0
【答案】D
【解析】
【分析】
依据实数的相关定义判断即可．
【详解】
解：A. 是无理数，都是有理数，故该选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数包括正无理数、负无理数，0属于有理数，故该选项说法错误，不符合题意；
C. 数轴上的点表示的数是实数，故该选项说法错误，不符合题意；
D. 绝对值最小的数是0，故该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查实数的相关定义．需注意B选项中0属于有理数，易混淆；C选项中数轴上的点表示的数是实数．
【变式1-1】（2021·全国·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．
【详解】
解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．

【题型2实数的分类】（2021·宁夏大武口·七年级期末）把下列各数分别填入相应的集合里．
，，0，，，，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数集合：{ …}
（2）正数集合：{ …}
（3）无理数集合：{ …}
【答案】（1）整数集合：；（2）正数集合：；（3）无理数集合：．
【解析】
【分析】
根据实数分类解题，实数分为有理数与无理数，无限不循环小数和开方不能开尽的数是无理数，整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数，
（1）根据整数的分类即可得；
（2）根据正数的分类即可得；
（3）根据无理数的分类即可得．
【详解】
解：+5是正整数，是无理数， 0是整数，-3.14是正分数，是正分数，-12是负整数，是负无理数，是正整数，（每两个1之间依次多一个0）是无理数；
故（1）整数集合：；
（2）正数集合：；
（3）无理数集合：．
【点睛】
本题考查实数的分类、有理数的分类等知识，掌握相关数的分类是解题关键．
【变式2-1】（2021·浙江·杭州江南实验学校七年级期中）把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩．
负分数集合{_________……}；
正整数集合{___________……}；
无理数集合{___________……}．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
根据负分数，正整数，无理数的定义进行分类即可得到答案．
【详解】
解：①﹣3.14是负分数，②﹣2π，是无理数，③是负分数，④0.618是正分数，⑤是正分数，⑥0是整数，⑦﹣1是负整数，⑧6%是正分数，⑨+3是正整数，⑩是无理数．
负分数集合{①③……}；
正整数集合{⑨……}；
无理数集合{②⑩……}．
【点睛】
本题主要考查了实数的分类，解题的关键在于能够熟练掌握负分数所有小于0的分数组成的数集，正整数所有大于0的整数组成的数集，无理数无限不循环的小数组成的数集．

【题型3实数与数轴及大小比较】（2021·江苏宿迁·七年级期中）把直径为1圆片上的点A放在点1处，并把圆片沿数轴无滑动地逆时针滚动1周后，点A到达的位置所表示的数是_____________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出圆片的周长为π，根据题意可得点A向左平移π个单位，即可表示出点A现在的位置．
【详解】
解：由题意得圆片的直径为1，
所以圆片的周长为π，
所以片沿数轴无滑动地逆时针滚动1周后，点A到达的位置所表示的数是．
故答案为1-π
【点睛】
本题考查了圆的周长公式和用数轴的点表示无理数，理解点在数轴的左右平移规律是解题关键．
【变式3-1】（2022·甘肃·金塔县教育局教育研究室八年级期末）比较大小： _____ (填“<”或“>”符号）
【答案】>
【解析】
【分析】
根据实数比较大小的方法判断即可．
【详解】
∵正数大于一切负数，
∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】
此题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．
【变式3-2】（2021·浙江鄞州·七年级期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称的知识，若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，从而找到的对称点．
【详解】
解：若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，
所以表示的点与数4﹣表示的点重合；
故答案为4﹣．
【点睛】
此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及中心对称的性质．注意：数轴上折点到两点的距离相等．

【题型4程序设计与实数运算】（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据程序框图的基本步骤并结合实数的运算法则逐步分析计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵不是无理数，
∴将当做输入的x循环进入初始步骤，
∵，
∴，
∵不是无理数，
∴将当做输入的x循环进入初始步骤，
∵，
∴，
∴输出结果为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数运算下的程序框图计算，理解程序框图的求解步骤，掌握实数运算的基本法则是解题关键．
【变式4-1】（2021·浙江鹿城·七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．

【答案】2．
【解析】
【分析】
读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．
【详解】
当输入x，若＝2的结果是无理数，即为输出的数，
当x＝﹣3时，2＝2，不是无理数，
因此，把x＝2再输入得，2＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．

【题型5新定义下的实数运算】（2021·吉林永吉·七年级期末）若规定“※”的运算法则为：，例如：则 =_________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
依据定义的运算法则列式计算即可．
【详解】
==-2
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义的运算法则并列式是解题的关键．
【变式5-1】（2021·北京育才学校七年级期中）对于有理数定义一种新运算：，如，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据新定义运算的规律，先计算，所得的结果再与（-1）进行“”运算．
【详解】
解：由题意得，，

故答案为：．
【点睛】
本题考查新定义、有理数的混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

【题型6与实数运算相关的规律题】（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级阶段练习）观察下列各式：，，，…，计算式子的值是______
【答案】
【解析】
【分析】
原式 ，再计算即可．
【详解】
解：原式



【点睛】
本题考查数字的规律，通过观察所给式子，找到规律，并运用是解题的关键．
【变式6-1】（2021·河北滦州·八年级期中）观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______．
【答案】
【解析】
【分析】
观察规律可直接得到规律．
【详解】
解：∵，
，
，…，
∴．
故答案为：
【点睛】
此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．






专项训练

一．选择题
1．（2021·广东阳山·八年级期末）在﹣3，0，2，这组数中，最小的数是（　　）
A． B．﹣3 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定3与的大小，再确定四个数的大小顺序，由此得到答案．
【详解】
解：∵9>7，
∴3>，
∴-3<，
∴-3<<0<2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了实数的估值，实数的大小比较，正确掌握实数的估值计算是解题的关键．
2．（2021·四川·成都新津为明学校八年级阶段练习）下列各数：3.14，0，，2，-2，0.1010010001…（1之间的0逐次增加1个），其中无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义求解即可
【详解】
解：在所列实数中，无理数有：，2，﹣0.1010010001…（1之间的0逐次增加1个），共3个，
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的定义，注意常见的无理数有：开方开不尽的数，含π的数，有规律但不循环的数．
3．（2021·四川恩阳·八年级期中）数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB＝AC利用两点间的距离公式便可解答．
【详解】
解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝−1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB．
∴点C的坐标为：1−（−1）＝2−．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
4．（2022·全国·七年级）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为2810的末位数字是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
经过观察如果2的次数除以4，余数为1，那末尾数就是2；如果余数是2，那末尾数是4；如果余数为3，那末尾数是8；如果余数是0，那末尾数是6．用810÷4＝202…2，余数是2故可知，末尾数是4．
【详解】
2n的个位数字是2，4，8，6循环，
所以810÷4＝202…2，
则2810的末位数字是4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了与实数运算相关的规律题，找到2n的末位数的循环规律是解题的关键．
5．（2021·福建龙岩·七年级期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）

A．2 B．2 C． D．±
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是，
即．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了立方根以及算术平方根、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
二、填空题
6．（2021·四川大英·八年级期末）选用适当的不等号填空：﹣_____﹣π．
【答案】<
【解析】
【分析】
先确定的取值范围，再利用实数比较大小的方法进行比较即可．
【详解】
解：∵，
∴5＜＜6，
∴＞π，
∴﹣＜﹣π，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了实数的大小比较,关键是掌握正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于-切负实数,两个负实数绝对值大的反而小．
7．（2021·重庆·七年级阶段练习）x、y表示两个数，规定新运算“*”如下：x*y＝2x﹣3y，那么（3*5）*（﹣4）＝_____．
【答案】-6
【解析】
【分析】
根据找出新的运算方法，再根据新的运算方法计算即可．
【详解】





故答案为：
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，解题关键是根据题目给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法计算要求的式子．
8．（2021·山东胶州·八年级期中）下列各数3.14159，﹣，，﹣π，0，，2.34010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有____个．
【答案】3
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
解：∵，
∴3.14159，﹣，，0，都是有理数，
﹣π，，2.34010101…（相邻两个1之间有1个0）都是无理数，共3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如2π，0.1212212221…（相邻两个1之间的2的个数逐次加1）等形式．
9．（2021·江苏徐州·七年级期中）如图，将一个半径为2个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿着数轴滚动2021周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 ___．

【答案】或
【解析】
【分析】
先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
【详解】
解：∵圆的半径为2个单位，
∴该圆的周长为 ，
∴把圆片沿着数轴滚动2021周，滚动的距离为 ，
当圆片沿着数轴向左滚动时，点B表示的数为 ；
当圆片沿着数轴向右滚动时，点B表示的数为．
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查的是实数与数轴的关系，熟知实数与数轴上的点是一对应关系是解答此题的关键．
10．（2021·全国·八年级单元测试）有一个数值转换机，原理如下：

当输入的时，输出的___________．
【答案】
【解析】
【分析】
把x=81代入数值转换机中计算即可得到输出的数．
【详解】
解：当x=81时，算术平方根为9，
再输入9，9的算术平方根为3，
再输入3，3的算术平方根为，为无理数，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
三、解答题
11．（2021·四川省绵阳南山中学双语学校七年级阶段练习）计算

【答案】
【解析】
【分析】
根据立方根，算术平方根，绝对值的计算法则进行求解即可．
【详解】
解：


．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根，算术平方根，绝对值的计算法则．
12．（2021·山西介休·八年级期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
(1)先化简原式中的立方根,平方根和绝对值再计算即可;
(2)利用二次根式的运算法则计算即可
【详解】
解：（1）原式=2＋2－3＋
=4－2
（2）原式=－
=
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，关键是掌握计算顺序，注意结果符号的判断．
13．（2021·江苏宿迁·七年级期中）将下列各数填入相应的括号内：

有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【答案】，，，，，，；，
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的意义逐项判断即可求解．
【详解】
解：在中，
有理数有，，，，，，；
无理数有：，．
【点睛】
本题考查了有理数，无理数的意义，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，熟知无理数的概念是解题关键．
14．（2021·贵州黔东南·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，||，0，﹣3.14，，﹣12.101001…（每两个1之间依次多一个0），+1.99，﹣（﹣6），π．
（1）正数集合：{　 　}；
（2）整数集合：{　 　}；
（3）分数集合：{　 　}；
（4）无理数集合：{　 　}．
【答案】（1），，+1.99，，；（2）﹣5，0，；（3），﹣3.14，，+1.99；（4）﹣12.101001…（每两个1之间依次多一个0），π
【解析】
【分析】
先化简，，再根据实数的分类按要求填空即可．
【详解】
，
（1）正数集合：{，，+1.99，，}；
（2）整数集合：{﹣5，0，}；
（3）分数集合：{，﹣3.14，，+1.99}；
（4）无理数集合：{﹣12.101001…（每两个1之间依次多一个0），π}．
【点睛】
本题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键．
15．（2021·新疆高昌·七年级阶段练习）对于有理数a，b，定义运算：
（1）计算的值；
（2）填空_______：（填“＞”、“＜”或“＝”）
（3）与相等吗？若相等，请说明理由．
【答案】（1）；（2）=；（3）相等，证明见详解．
【解析】
【分析】
（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；
（2）先按新定义运算，再比较大小；
（3）按新定义分别运算即可说明理由．
【详解】
解：（1）；
（2），
，
∴=，
故答案是：=；
（3）相等
∵，，
∴=．
【点睛】
此题是定义新运算题型，直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
16．（2021·河北滦州·八年级期中）阅读下列过程，回答问题
（1）通过计算下列各式的值探究问题：
______，______，______，______．
探究：当时，______；当时，______．
（2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简．

【答案】（1）2；0；；3：a；；（2）应用：．
【解析】
【分析】
（1）分别计算各式的值，并归纳出探究结果；
（2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果．
【详解】
解：（1）2，0，，3．
探究：当时， a；当时，-a
故答案为：2；0；；3：a；；
（2）观察数轴可知：−2＜a＜−1，0＜b＜1，a＋b＜0．
＝|a|+|b|＋|a＋b|＝−a+b-a−b＝−2a．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．
17．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：
﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质即可求解；
（2）根据小华的方法求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴；
，
∵，
∴．
∴，
∴，
故答案是：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）∵，
∴，
∴；
【点睛】
考查了实数大小比较，读懂题目并能应用，熟练掌握比较大小的解法是解题的关键．
18．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读下列解题过程：
；
；
；…
（1）________．
（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．
（3）利用这一规律计算：
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1）；
故答案为：；
（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：
，
故答案为：；
（3）


．
【点睛】