人教版七年级下册6.3 实数练习题

2021-2022学年七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）

第6章 实数

班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________

考试范围：第6章 实数，共23题；  考试时间：120分钟；  总分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（2021·江西师大附中滨江校区）下列各数中，最小的数是（       ）

A．0 B． C． D．﹣3

【答案】C

【解析】

【分析】

有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【详解】

解：，

所给的各数中，最小的数是．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

2．（2021·广西三江·七年级期中）下列等式正确的是（　　 ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据算术平方根的定义和性质，立方根的定义逐项分析判断即可

【详解】

A. ，故该选项不正确，不符合题意；

B. 无意义，故该选项不正确，不符合题意；      

C. ，故该选项正确，符合题意；

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查了平方根和立方根的概念和求法，理解、记忆平方根和立方根的概念是解题关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数) 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”(a称为被开方数)．

3．（2022·广东福田·八年级期末）以下六个数：，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

解：∵是有理数，

3.14，，0.1010010001，都是有理数，

∴无理数有：-，，共有2个．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

4．（2020·黑龙江南岗·七年级期末）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（       ）倍．A．2              B．3              C．4              D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方体的体积公式解答．

【详解】

解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为，

由题意可得现在正方体的体积为，

∵，

∴现在正方体的棱长为3a，

故选：B．

【点睛】

本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键．

5．（2021·广东揭阳·八年级阶段练习）已知，则的值为（　　）

A．0 B．1 C． D．2020

【答案】B

【解析】

【分析】

由算术平方根与偶次方的非负性可得且再解方程求解的值，从而可得答案.

【详解】

解：

且

解得：

故选：

【点睛】

本题考查的是非负数的性质，有理数乘方的符号的确定，掌握算术平方根的非负性是解本题的关键.

6．（2021·福建晋安·七年级期末）如图，直径为2个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）

A．1 B．2 C．π D．2π

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆的周长πd作答即可．

【详解】

解：圆旋转一周，周长为2π，

∴点A所表示的数为0+2π＝2π．

故选：D．

【点睛】

考查圆的周长及数轴上点的意义，解题关键是通过图形求得圆的周长．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（2021·广东·河源市第二中学八年级期中）比较大小： _____4．

【答案】＜

【解析】

【分析】

将4写成一个数的平方根，即可得出答案．

【详解】

解：∵4=，12＜16，

∴＜4，

故答案为：＜．

【点睛】

本题主要考查实数的比较大小，关键是掌握算术平方根的定义．

8．（2021·福建·厦门市湖滨中学七年级期中）（1）5的算术平方根是______；

（2）-27的立方根是_____；

【答案】          -3

【解析】

【分析】

（1）根据算术平方根的定义即可求解；

（2）根据立方根的定义即可求解．

【详解】

（1）5的算术平方根是；

（2）-27的立方根是；

故答案为：；-3．

【点睛】

此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知算术平方根、立方根的定义．

9．（2021·江苏·镇江市外国语学校）若m、n是两个连续的整数，且，则______．

【答案】11

【解析】

【分析】

根据无理数的估算方法求出、的值，由此即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵5、6是两个连续的整数，且，

，

，

故答案为：11．

【点睛】

本题考查了无理数的估算和代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．

10．（2021·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）若一个正数的平方根是3x+2和5x-10，则这个数是____________．

【答案】25

【解析】

【分析】

根据正数的平方根有2个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到这个正数．

【详解】

解：根据题意得：，

解得：，

即，，

则这个数为25，

故答案为：25．

【点睛】

本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

11．（2021·江苏·扬州市梅岭中学）x，y都是实数，且|x﹣3|＋＝0，那么＝___．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求得的值，进而求得的值

【详解】

解：|x﹣3|＋＝0，

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，求得的值是解题的关键．

12．（2021·山东莱阳·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．

【详解】

解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y，

∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（2021·江苏惠山·七年级期中）计算：

（1）；             （2） ．

【答案】（1）2；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用算术平方根以及立方根、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案；

（2）直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别计算得出答案．

【详解】

解：（1）原式 ；                   

（2）原式 ．

【点睛】

本题考查了乘方、平方根、算术平方根、绝对值的性质，解题的关键是正确的进行化简．

14．（2021·江苏·沭阳县怀文中学）求下列各式中的x．

（1）；   （2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用求平方根的方法解方程即可；

（2）利用求立方根的方法解方程即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了根据求立方根和平方根的方法解方程，解题的关键在于熟练掌握求平方根和立方根的方法．

15．（2021·浙江·杭州采荷实验学校七年级期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内．

①，②，③，④0，⑤，⑥3.14，⑦，⑧﹣3.1，⑨

正整数{　 　……}；

负分数{　 　……}；

无理数{　 　……}．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据正整数、负分数及无理数的定义进行解答即可．

【详解】

解：，

正整数{③，⑨……}；

负分数{②，⑧﹣3.1……}；

无理数{①，⑤，⑦……}．

【点睛】

本题考查了实数的分类，熟知实数的分类是解答此题的关键．

16．（2021·河南·八年级阶段练习）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为和．

（1）求a的值：

（2）求这个数m．

【答案】（1）；（2）的值是36

【解析】

【分析】

（1）根据平方根的性质：正数的平方根有两个，且互为相反数，即可求得a的值；

（2）由（1）可求得m的两个平方根，从而可求得m的值．

【详解】

（1）数m的两个不相等的平方根为和，

，

，

解得；

（2）∵，，

，

的值是36．

【点睛】

本题考查了正数的平方根的性质，平方根的定义，关键是掌握平方根的性质．

17．（2020·天津市小站实验中学七年级阶段练习）已知3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2．

（1）a的值　   　；

（2）求3a+10b的平方根．

【答案】（1）2；（2）±6

【解析】

【分析】

（1）先依据算术平方根、立方根的定义列出关于a、b的方程，然后可求得a、b的值；

（2）先将a，b的值代入计算3a+10b的值，再依据平方根的定义求解即可．

【详解】

解：（1）∵3a+21的立方根是3，4a－b－1的算术平方根是2，

∴3a+21＝27，4a－b－1＝4，

∴a＝2，b＝3，

故答案为：2；

（2）当a＝2，b＝3时，3a+10b＝3×2+10×3＝36，

∴3a+10b的平方根是±6．

【点睛】

本题考查了平方根、算术平方根及立方根，熟记定义是解题的关键．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（2021·山东日照·七年级期末）阅读下列材料：

∵，

∴，

∴的整数部分为3，小数部分为．

请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．

【答案】a+b的值为25+．

【解析】

【分析】

由9π≈28.26，可得其整数部分a=28，由27＜28＜64，可求得的小数部分，继而可得a+b的值．

【详解】

解：∵9π≈28.26，

∴a=28，

∵27＜28＜64，

∴，

∴3＜＜4，

∴b=-3，

∴a+b=28+-3=25+，

∴a+b的值为25+．

【点睛】

本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．

19．（2021·全国·七年级）观察下列各式及其变形过程：

（1）按照此规律，写出第五个等式       ；

（2）按照此规律，若，试用含的代数式表示．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据上述的规律第五个等式a5=；

（2）根据（1）总结得到的规律，用含n的等式表示an，然后计算Sn，抵消合并后，即可得到Sn=；

【详解】

解：

故答案为：

用含字母（为正整数）的等式表示（）中的一般规律为

【点睛】

此题考查了分母有理化，属于规律型题，根据题意找出一般性规律是解本题的关键．

20．（2021·山西·朔州市第二中学校初中部七年级期中）（1）计算                ；              ；                    ；                

（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．

（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ．

【答案】（1）3，6，，0；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；

（2）根据计算结果归纳可得；

（3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简．

【详解】

解：（1）3，6，，0；

（2）由计算结果可知：；

（3）由数轴可得：a＜0＜b，

∴a-b＜0，

∴

=

=

=

【点睛】

本题考查了算术平方根，实数与数轴，化简绝对值，解题的关键是通过计算发现规律．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（2020·广东·珠海市第八中学七年级期中）你能找出规律吗？

（1）计算：＝　   　，＝　   　；＝　   　，＝　   　．

结论：　   　；　   　．（填“＞”，”＝”，“＜”）．

（2）请按找到的规律计算：

①；

②．

（3）已知：a＝，b＝，则＝　   　（可以用含a，b的式子表示）．

【答案】（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）

【解析】

【分析】

（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：，据此判断即可．

（2）根据，可得，，据此解答即可．

（3）根据，，可得，据此解答即可．

【详解】

解：（1）∵，；

，．

∴；；

故答案为：6，6，20，20，＝，＝；

（2）①；

②；

（3）∵，，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键．

22．（2021·浙江·杭州市弘益中学七年级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．

（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；

（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；

（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．

【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255

【解析】

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴对10进行1次操作后变为3；

同理可得，

∴，

同理可得，

∴，

同理可得，

∴，

∴对200进行3次作后变为1，

故答案为：3；1；

（2）设m进行第一次操作后的数为x，

∵，

∴．

∴．

∴．

∵要经过两次操作．

∴．

∴．

∴．

故答案为：．

（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，

∵，

∴．

∴．

∴．

．

∴．

∵要经过3次操作，故．

∴．

∵是整数．

∴的最大值为255．

【点睛】

本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．

六、（本大题共12分）

23．（2021·浙江温州·七年级期中）如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．

（1）点B表示的数为          ，点D表示的数为          ；

（2）点C与点D之间的距离为          ；

（3）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a+b的值．

【答案】（1），；（2）4；（3）3

【解析】

【分析】

（1）先将无理数估算，然后根据所给的数值，在数轴上进行分析判断即可；

（2）点C对应的数轴上数值减去点D对应的数轴上数值即可；

（3）分别计算出的值，代入计算即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴点B表示的数为，点D表示的数为

（2）∵点C表示的数为4，点D表示的数为

∴点C与点D之间的距离为：

（3）由题意得，点A表示的数为－1，点C表示的数为4，点D表示的数为

所以点A和点B之间距离为a=

点C和点D之间的距离为b=

则a+b=

【点睛】

本题考查数轴上两点之间的距离以及无理数的估算，牢记相关内容并能结合数轴灵活应用是解题关键．