初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形课后复习题

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解直角三角形的应用：方向角问题（重难点培优）注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021•深圳模拟）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（　　）千米．A．4 B．4 C．2 D．6选：D．2．（2021•香坊区模拟）如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（　　）A．16海里 B．18海里 C．8海里 D．8海里选：D．3．（2021•皇姑区一模）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（　　）A．10km B．10km C．10km D．km【解】根据题意可知：∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，∴AC＝AB×cos30°＝2010（km）．∴A，C两景点相距10km．故选：B．4．（2020秋•松江区期末）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（　　）A．15千米 B．10千米 C．10千米 D．5千米【解】如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝5千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），∴AC（千米），故选：C．5．（2021•九台区一模）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（　　）A．100+100•sinα米 B．100+100•tanα米 C．100米 D．100米选：B．6．（2021•淮南模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（　　）A．40海里 B．40tan37°海里 C．40cos37°海里 D．40sin37°海里选：D．7．（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　）A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里【解】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．8．（2020秋•石家庄期中）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上 C．∠ACB＝50° D．sin∠BAC选：D．9．（2020•吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（　　）A．（1515）海里、15海里 B．（1515）海里、5海里 C．（1515）海里、15海里 D．（1515）海里、15海里【解】过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，∴∠CDS＝∠CAS＝30°，∵∠ABS＝15°，∴∠DSB＝15°，∴SD＝BD，设CS＝x，在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，∴ACx，AS＝DS＝BD＝2x，∵AB＝30海里，∴xx+2x＝30，解得：x，∴AS＝（1515）（海里）；∴BS15（海里），∴灯塔S离观测点A、B的距离分别是（1515）海里、15海里，故选：D．10．（2020•唐山二模）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　）A．海里/小时 B．15海里/小时 C．里/小时 D．30海里/小时选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　25　海里（结果保留根号）．答案为：25．12．（2020•邹城市一模）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是　18　海里（结果保留根号）．答案为：18．13．（2021•任城区一模）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为　38　海里（精确到1海里，参考数据1.414，1.732）．答案为：38．14．（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．【解】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE，∴AE＝AC•sin∠ACE＝610.4（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．15．（2021•兴城市一模）如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶　15（1）　海里．答案为：15（1）．16．（2021•苏州模拟）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，航程AB的值为　40+40　（结果保留根号）．答案为：40+40．17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为　2km　．答案为2km．18．（2020秋•临沭县期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝4km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为　（4+2）　km．答案为：（4+2）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018•泸州模拟）如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B处西北方向的C 岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：1.4，1.7）【解】如图，过C作CH⊥AB于H，由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，设BH＝x，则CH＝AHx，BC＝2x，∵AB＝60，∴x+x＝60，解得x＝30（1），∴AH＝30（3），∴Rt△ACH中，ACAH30（3）＝30（3），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（1），∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3）÷20≈2.7小时，不明船只到达C岛的时间为60（1）÷15≈2.8小时，∴巡逻艇先到达C岛．20．（2020秋•上虞区期末）如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道．经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知BC＝4km．“运动达人”小敏从景点C出发，沿着C﹣B﹣A﹣C的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C．求：（1）景点A，B间的距离；（2）小敏健步走的总路程．【解】（1）延长AB，过点C作CH⊥AB延长线于点H，如图所示：由题意知：∠CAH＝90°﹣60°＝30°，∠CBH＝90°﹣45°＝45°，∵，∴，∵∠CBH＝∠HCB＝45°，∴CH＝BH＝4，在Rt△CAH中，CH＝4，∠CAH＝30°，∵，∴，∴，即景点A，B间的距离为；（2）在Rt△CAH中，∠CAH＝30°，∴AC＝2CH＝2×4＝8，∴BC+AB+AC＝444+8＝444，即小敏健步走的总路程为（444）km．21．（2021•成都模拟）如图，一艘轮船以每小时40海里的速度在海面上航行，当该轮船行驶到B处时，发现灯塔C在它的东北方向，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的北偏东75°方向上，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）【解】过点A作AD⊥BC于点D．由题意，AB40＝20（海里）∵∠PAC＝∠B+∠C，∴∠C＝∠PAC﹣∠B＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABD中，sinB，∴AD＝AB•sinB＝2010（海里），在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝20（海里），答：此时轮船与灯塔C的距离为20海里．22．（2018秋•成都期中）如图，在点B正北方150cm的A处有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以5cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为170cm．（1）求出点A到线段BC的最小距离；（2）请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．【解】（1）作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝150cm，∠B＝45°，∴AH＝AB•sin45°＝150cm，答：点A到线段BC的最小距离为150cm． （2）∵AH＝150cm＜170cm，∴点A处能接收到信号．当AP＝170cm时，PH80cm，当AP′＝170cm时，HP′＝80cm，∴PP′＝160cm，∴可接收信号的时间32s．答：可接收信号的时间32s．23．（2020•青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°）【解】如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根据题意可知：AE＝5海里，∠BAE＝22°，∴BE＝AE•tan22°≈52（海里），∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里），∴CF＝4（海里），在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC44.3（海里）．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．24．（2020秋•崇明区期末）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．（1）B、P两处间的距离为　14　海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是　等边　三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它　能　[填“能”或“不能”]到达Q处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？【解】（1）如图1所示：由题意得：AB＝2814（海里），∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠PAB，∴PB＝AB＝14（海里），∵BC∥PD，∴∠BPD＝∠PBC＝30°，∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，∵PQ＝PB＝14，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PBQ＝60°，∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，∴A、B、Q三点共线，∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，故答案为：14，等边，能；（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：由（1）得：∠PBH＝60°，在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB14＝7，∵712，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．