华师大版九年级上册第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形练习

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解直角三角形的应用：俯角仰角问题（重难点培优）
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•湖南模拟）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（　　）米．（3≈1.7）

A．145米 B．135米 C．125米 D．120米
选：B．
2．（2020•二道区校级模拟）如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（　　）

A．（4803+300）米 B．（9603+300）米
C．780米 D．1260米
【解】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．
已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，
∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴BC＝BA＝960（米）．
在Rt△BEC中，sin∠EBC=CEBC，
∴CE＝BC•sin60°＝960×32=4803（米）．
∴CF＝CE+EF＝（4803+300）米，
故选：A．

3．（2021•龙岗区校级一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（　　）

A．40033米 B．903米 C．1203米 D．225 米
【解】由题意可得，
α＝30°，β＝60°，AD＝90米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝90米，
∴tanα=BDAD=BD90=33，
∴BD＝303（米），
在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝90米，
∴tanβ=CDAD=CD90=3，
∴CD＝903（米），
∴BC＝BD+CD＝303+903=1203（米），
即这栋楼的高度BC是1203米．
故选：C．
4．（2018秋•雨花区校级月考）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测角仪测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°．已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为（　　）
（tan67.5°＝1+2）

A．52+21 B．53+21 C．102+21 D．203+1
选：C．
5．（2021•章丘区模拟）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（　　）m．

A．10 B．15 C．153 D．153−5
【解】在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE=DECD=510=12，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC=CDtan30°=1033=103（m），
∴AB＝BC•sin60°＝103×32=15（m）．
故选：B．
6．（2021春•重庆月考）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（　　）
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

A．230米 B．240米 C．250米 D．260米
【解】如图，过C、E分别作CF⊥AB、EG⊥AB，垂足为F、G，延长CD交EG于点H，
由斜坡BC的坡度i＝0.75：1，即i＝3：4，BC＝500，
设CF＝3x米，则BF＝4x米，由勾股定理可得，
CF2+BF2＝BC2，
即（3x）2+（4x）2＝5002，
解得，x＝100（米），
∴GF＝300（米），BF＝400（米），
由斜坡DE的坡度i＝5：12，BC＝520米，
设EH＝5y米，则DH＝12y米，由勾股定理可得，
EH2+DH2＝DE2，
即（5y）2+（12）2＝5202，
解得，y＝40（米），
∴EH＝5y＝200（米），DH＝12y＝480（米），
∴EG＝EH+HG＝200+300＝500（米），
BG＝BF+CD+DH＝400+120+480＝1000（米），
在Rt△AEG中，
∵tan22°=EGAG，即0.40=500AB+1000，
∴AB＝250（米），
故选：C．

7．（2020•温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）

A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanα）米
C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+150sinα）米
选：A．
8．（2020•邢台一模）如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（　　）

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
选：A．
9．（2021•市中区二模）图1是济南动物园的一个大型娱乐设施﹣﹣摩天轮，它是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰泉城景色．图2是它的的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走20m到达C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝0.75，坡长为10m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40m到达点E（A、B、C、D、E均在同一平面内），在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，则AB的高度约为（　　）米．（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）

A．24.6 B．22.7 C．27.5 D．28.8
【解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．如图所示；

在Rt△CDN中，CNDN=0.75=34，
设CN＝3k，DN＝4k，
∵CD＝10m，
∴（3k）2+（4k）2＝100，
∴k＝2，
∴CN＝6（m），DN＝8（m），
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝6（m），BC＝MN＝20（m），EM＝MN+DN+DE＝20+8+40＝68（m），
在Rt△AEM中，tan24°=AMEM=0.45，
∴6+AB68=0.45，
解得：AB＝24.6（m），
故选：A．
10．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【解】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°=OFDF，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°=OFBF，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•花都区一模）如图，在热气球上的点C测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，点C到地面的高度CD为100米，点A，B，D在同一直线上，则AB两点的距离是　100（3+1）　米（结果保留根号）．

答案为：100（3+1）
12．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是 　20　m（3≈1.732，结果保留整数）．

答案为20．
13．（2020秋•普陀区期末）如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为　m⋅tanαtanβ　米．

答案为：m⋅tanαtanβ．
14．（2020•始兴县一模）如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是　303　m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）．

答案为：303．
15．（2021•历城区二模）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD＝　33　m．（结果保留根号）

答案为：33．
16．（2021•松江区二模）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．已知山坡AB的坡度i＝1：3，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为　1003　米．（结果保留根号形式）

答案为：1003．

17．（2020春•新泰市期中）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是　（15﹣53）　米．

【解】如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，

根据题意可知：
∠BAH＝30°，
AB＝AE＝10，
∴BH＝5，AH＝53，
∵CE⊥AE，
∴四边形BHEF是矩形，
∴EF＝BH＝5，
BF＝HE＝AH+AE＝53+10，
∵∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝103，
∴DF＝DE﹣EF＝103−5，
∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝53+10，
∴CD＝CF﹣DF＝53+10﹣（103−5）＝15﹣53（米）．
所以标识牌CD的高度是（15﹣53）米．
故答案为：（15﹣53）．
18．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为　（50﹣103）　米（结果保留根号）．

答案为：（50﹣103）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•宣城模拟）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）

【解】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．

由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG=CGEG，
∴EG=CGtan60°=213=73（米）．
∴DH＝EG＝73米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝73米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+73=（30+73）米．
答：大楼BC的高度是（30+73）米．
20．（2021•河南模拟）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°=43）

【解】连接DE，如图所示：
由题意得：DE⊥CD，BE⊥AC，DC⊥AC，DE＝23米，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠C＝∠CDE＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD，BC＝DE＝23米，
∵∠AEB＝30°，
∴BE=3AB，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD=tan53°=43，
∴AC=43CD，
设AB＝x米，则CD＝BE=3x米，AC=433x米，
∵BC＝AC﹣AB＝23，
∴433x﹣x＝23，
解得：x≈17.6，
∴AC＝AB+BC≈17.6+23≈40.6（米），
答：塔帽与地面的距离AC的高度约为40.6米．

21．（2021•安徽模拟）如图，在高度为400米的热气球P上测得地面一点B的俯角∠DPB＝45°，测得山顶A的仰角∠APE＝25°，已知BC＝600米，求山高AC（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）．

【解】过点P作PF⊥BC于F，如图所示：
则四边形CEPF为矩形，
∴CE＝PF＝400米，CF＝PE，∠EPF＝∠DPF＝90°，
∴∠BPF＝90°﹣∠DPB＝90°﹣45°＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝PF＝400米，
∴CF＝BC﹣BF＝600﹣400＝200（米），
∴PE＝200米，
在Rt△APE中，tan∠APE=AEPE，
∴AE＝PE•tan25°≈200×0.47＝94（米），
∴AC＝AE+CE＝94+400＝494（米），
答：山高AC约为494米．

22．（2021•江西模拟）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【解】（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴AHPH=512，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，
解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．

（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx−14≈4.01．
解得x≈19．
答：古塔BC的高度约为19米．

23．（2020秋•成华区期末）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面CD的中点B垂直起飞到达点A处，测得一号楼顶部E的俯角为55°，测得二号楼顶部F的俯角为37°，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高CE为20米，求二号楼的高DF．（结果精确到1米）（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

【解】过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝55°，∠AFN＝37°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM=AMEM，
∴EM=AMtan∠AEM=40tan55°≈27.97，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN=ANFN，
∴AN＝tan37°×FN＝0.75×27.97≈20.98，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣20.98≈39，
答：二号楼的高度约为39米．
24．（2021•深圳模拟）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，2≈1.4，3≈1.7）
【解】（1）由已知得AP＝BP=12AB＝16cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP=APAE，
∴AE=APsin∠AEP=16sin18°≈160.3≈53，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×33≈5.44，
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．