数学七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程优质第1课时学案

3.4 实际问题与一元一次方程（第1课时）产品配套问题和工程问题

导学案

  学习目标 

1. 理解配套问题、工程问题的背景.

2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系列方程解决问题.

3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.

  重点难点突破 

★知识点1：找出相等关系列方程

首先恰当设元，并用未知数表示相关的量。其次，找等量关系是关键，善于分析问题中的不变量，利用不变量列方程；善于利用“总量等于各个分量之和”列方程；善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相等关系列方程. 另外，熟练掌握各类实际问题中的基本关系式，也能为正确列方程打下基础.

★知识点2：利用方程解决实际问题的基本思路

①首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后，用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．②对于各种各样类型的实际问题，掌握其基本关系式是关键.③用“x”表示某些量作为已知量参与运算，使关系更简洁、明朗，随着问题的复杂化更显示出比算术方法的优越性.

  核心知识 

1. 工作量、工作效率和工作时间之间的关系：                               .

2. 人均效率是个平均值，它表示平均每人每单位时间的工作量，如一件工作m人n小时完成，那么人均效率为               .

3. 解一元一次方程的一般步骤是                                            .

4. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即         ，         ，         ，        ，        . 正确分析问题中的      关系是列方程的基础.

  思维导图 

  回顾旧知 

1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是       ，乙每天的工作效率是       ，两人合作3天完成的工作量是       ，此时剩余的工作量是       .

2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.

工作量、工作时间、工作效率的关系：

1. 工作量=___________ × ____________；

2. 工作时间=___________÷____________；

3. 工作效率=___________÷____________.

  典例分析 

例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

  针对训练一 

1.如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？

2. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？

  典例分析 

例2：整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成.  现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作.  假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

  针对训练二 

1. 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

2. 有一批零件加工任务，甲单独做需要40h完成，乙单独做需要30h完成.  甲做了几小时后，因另有紧急任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了几小时？

  当堂巩固 

1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？

2. 收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成. 求这块水稻田的面积．

  能力提升 

1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为                            .

2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为                   .

3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）

4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做.  剩下的部分需要几小时完成？

5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？

  感受中考 

1．（2022•南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（     ）

A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94 

C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94

2.（2分）（2021•北京16/28）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 　      ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为         ．

3.（8分）（2019•安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

  课堂小结 

1. 本节课学习的主要内容是什么？

2. 分析实际问题中的数量关系，常用的方法是什么？需要注意哪些问题？

3. 通过本节课的学习，尝试用自己的语言描述，如何建立方程模型来解决实际问题？

【参考答案】

  核心知识 

1. 工作量＝工作效率×工作时间；

2. ；

3. 去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；

4. 设未知数；列方程；解方程；检验所得结果；确定答案；相等.

  回顾旧知 

1. ；；；．

2. ；；；．

工作量、工作时间、工作效率的关系：

1. 工作时间；工作效率．

2. 工作量；工作效率．

3. 工作量；工作时间．

  典例分析 

例1：解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.

依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .

解方程，得 x＝10.

所以 22－x＝12.

答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.

  针对训练一 

1.解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32－x)块，

五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32－x)条．

依题意，得 2×5x=6（32－x）,

解得x=12，则32－x=20.

答：白皮20块，黑皮12块.

2.解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.

根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.

解得 x = 4.

则 6－x = 2.

共配成仪器：4×40=160 （套）.

  典例分析 

例2：解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：

前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1

可列方程，

解方程，得

4x＋8(x＋2)＝40，

4x＋8x＋16＝40，

12x＝24，

x＝2.

答：应先安排 2人做4小时.

  针对训练二 

1.解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12－x）天.

依题意，得

.

解得 x=8.

答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.

2.解：设甲做了x h. 

依题意，得.

解方程，得 x＝16.

答：甲做了16小时.

  当堂巩固 

1.解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：

.

解方程，得 x = 8.

答：要8天可以铺好这条管线.

2.解：设这块水稻田的面积为x亩.

依题意，得.

解方程，得 x＝36.

答：这块水稻田的面积为36亩.

  能力提升 

1.  2×50x = 20(30－x)

2.

3. 解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.

根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，

解得 x =6，所以 10－x = 4，

可做方桌为50×6=300（张）.

答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.

4. 解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：

.

解得x = 6.

答：剩下的部分需要6小时完成.

5. 解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：

.

解得 x = 13.

答：乙队还需13天才能完成．

  感受中考 

1．【解答】解：因为上有三十五头，且鸡有x只，

所以兔有(35－x)只．

依题意得：2x＋4(35－x)=94．

故选：D．

2.【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5－x）吨，4x+1＝2（5－x）+3，

解得：x＝2，

所以分配到B生产线的吨数为5－2＝3（吨），

所以分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；

所以第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，

因为加工时间相同，

所以4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，

解得：m=n，

所以，

故答案为：2：3；．

3.【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x－2）米，

由题意，得2x+（x+x－2）＝26，

解得x＝7，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天）

答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．