人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程优质第1课时教案设计

3.4 实际问题与一元一次方程（第1课时） 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.4实际问题与一元一次方程第1课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决配套、工程等问题.

2.内容解析

配套问题、工程问题等是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有一定的代表性.这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这些问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：配套问题、工程问题的探究过程．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解配套问题、工程问题的背景，分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系列方程解决问题.

（2）掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.

2.目标解析

（1）理解问题相关的概念，能够找出解决问题所需的关键量，并利用一元一次方程将之求出．

（2）经历配套问题、工程问题的探究过程，掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程．

三、教学问题诊断分析

学生在小学阶段及前面学习对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中准确找到题目中隐含的相等关系．

四、教学过程设计

（一）回顾旧知

小学我们学过工程问题，请回答下列问题：

1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是       ，乙每天的工作效率是       ，两人合作3天完成的工作量是       ，此时剩余的工作量是       .

；；；．

2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.

；；；．

工作量、工作时间、工作效率的关系：

1. 工作量=___________ × ____________；工作时间；工作效率．

2. 工作时间=___________÷____________；工作量；工作效率．

3. 工作效率=___________÷____________. 工作量；工作时间．

（二）新课导入

从前面几节课的学习中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具. 从本节课开始，我们将重点学习如何用一元一次方程解决实际问题.

生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？

（三）典例分析

例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.

依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .

解方程，得 x＝10.

所以 22－x＝12.

答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.

师生活动：学生思考，教师适时引导：本题需要我们解决的问题是什么？题目中哪些信息能解决人员安排的问题？螺母和螺钉的数量关系如何？学生确有困难，教师可提示学生列出表格．

师生归纳：生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.

解决配套问题的思路：

1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；

2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.

【设计意图】使学生经历“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，有助于提高学生的分析问题和解决问题的能力．

针对训练：

1.如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？

解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32－x)块，

五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32－x)条．

依题意，得 2×5x=6（32－x）,

解得x=12，则32－x=20.

答：白皮20块，黑皮12块.

2. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？

解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.

根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.

解得 x = 4.

则 6－x = 2.

共配成仪器：4×40=160 （套）.

例2：整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成.  现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作.  假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：

前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1

可列方程，

解方程，得

4x＋8(x＋2)＝40，

4x＋8x＋16＝40，

12x＝24，

x＝2.

答：应先安排 2人做4小时.

师生活动：师生共同思考，教师适时点拨，帮助学生分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作总量=各部分工作量之和.

【设计意图】使学生经历“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，有助于提高学生的分析问题和解决问题的能力．

针对训练：

1. 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12－x）天.

依题意，得

.

解得 x=8.

答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.

2. 有一批零件加工任务，甲单独做需要40h完成，乙单独做需要30h完成.  甲做了几小时后，因另有紧急任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了几小时？

解：设甲做了x h. 

依题意，得.

解方程，得 x＝16.

答：甲做了16小时.

【设计意图】在教师引领完成例题之后，依次给出练习，使学生获得的解题经验得以巩固，并通过应用练习转化为能力．

（四）当堂巩固

1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？

解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：

.

解方程，得 x = 8.

答：要8天可以铺好这条管线.

2. 收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成. 求这块水稻田的面积．

解：设这块水稻田的面积为x亩.

依题意，得.

解方程，得 x＝36.

答：这块水稻田的面积为36亩.

【设计意图】考查学生对建立方程模型解决这些问题的一般方法的掌握．

（五）能力提升

1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为                            . 2×50x = 20(30－x)

2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为                   .

3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）

解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.

根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，

解得 x =6，所以 10－x = 4，

可做方桌为50×6=300（张）.

答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.

4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做.  剩下的部分需要几小时完成？

解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：

.

解得x = 6.

答：剩下的部分需要6小时完成.

5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？

解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：

.

解得 x = 13.

答：乙队还需13天才能完成．

【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．

（六）感受中考

1．（2022•南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（     ）

A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94 

C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94

【解答】解：因为上有三十五头，且鸡有x只，

所以兔有(35－x)只．

依题意得：2x＋4(35－x)=94．

故选：D．

2.（2分）（2021•北京16/28）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 　      ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为         ．

【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5－x）吨，4x+1＝2（5－x）+3，

解得：x＝2，

所以分配到B生产线的吨数为5－2＝3（吨），

所以分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；

所以第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，

因为加工时间相同，

所以4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，

解得：m=n，

所以，

故答案为：2：3；．

3.（8分）（2019•安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x－2）米，

由题意，得2x+（x+x－2）＝26，

解得x＝7，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天）

答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．

【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．

（七）课堂小结

1. 本节课学习的主要内容是什么？

2. 分析实际问题中的数量关系，常用的方法是什么？需要注意哪些问题？

3. 通过本节课的学习，尝试用自己的语言描述，如何建立方程模型来解决实际问题？

【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳用一元一次方程解决实际问题的方法．

（八）布置作业

P106：习题3.4：第4、5题.

P107：习题3.4：第9题.

五、教学反思

本节内容是学生进入中学后代数知识学习的又一次重要跨越．在前面，学生已经学习了有理数、整式的加减和一元一次方程的解法，对数的认识已经由非负数有理数扩展到有理数，知道了用字母可以表示具有一般意义的数量关系，掌握了解一元一次方程的一般步骤和基本方法，学生对代数知识的学习正逐步深入，他们的代数变形能力正逐步提高．本节是第三章一元一次方程的最后一节，是对前面所学内容的综合运用，也是七上教材“数与代数”领域的压轴内容．

列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，便于学生有层次、有梯度地学习．

列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．