《高考总复习》数学 第八章 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第八章 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系[配套课件]，共60页。PPT课件主要包含了异面直线所成的角，锐角或直角，0°90°，题组一，走出误区，交或平行，故选AD，答案AD，题组二，走进教材等内容，欢迎下载使用。

1.空间中点、直线、平面之间位置关系的基本性质(即四条公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表)及推论
2.空间线、面之间的位置关系
过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′.那么直线 a′与 b′所成的_______________，叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)，其范围是______________.
1.(多选题)设α是给定的平面，A，B 是不在α内的任意两点，
)A.在α内存在直线与直线 AB 异面B.在α内存在直线与直线 AB 相交C.在α内存在直线与直线 AB 平行D.存在过直线 AB 的平面与α垂直
解析：A，B 是不在α内的任意两点，则直线 AB 与平面α相
如果直线 AB 与平面α相交，则α内不过交点的直线与直线
AB 异面，但没有直线与直线 AB 平行，
如果直线 AB 与平面α平行，则在α内存在直线 b 与直线 AB平行，而在α内与 b 相交的直线与直线 AB 异面，但α内不存在直线与直线 AB 相交，
由上知 A 正确，BC 均错误；
不论直线 AB 与平面α是平行还是相交，过 A 作平面α的垂线，则这条垂线与直线 AB 所在平面与α垂直，(如果垂线与 AB重合，则过 AB 的任意平面都与α垂直)，D 正确.
2.(必修2P52B组第2题改编)如图8­3­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线
B1C 与 EF 所成角的大小为(
解析：连接 B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C.
3.(必修2P59例3改编)(2020年江西一模)用一个平面去截正
方体，截面的形状不可能是(A.正三角形C.正五边形
)B.正方形D.正六边形
由面面平行的性质定理可知选C.
4.(2016 年山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的
A.充分不必要条件C.充要条件
B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析：直线 a 与直线 b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则 a，b 可能相交，也可能平行或异面.故选 A.答案：A
5.(2019 年上海)已知平面α，β，γ两两垂直，直线 a，b，c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线 a，b，c 不可能满足以下哪
A.两两垂直C.两两相交
B.两两平行D.两两异面
解析：如图 D64(1)，可得 a，b，c 可能两两垂直；如图 D64(2)，可得 a，b，c 可能两两相交；如图 D64(3)，可得 a，b，c 可能两两异面；故选 B.
平面的基本性质 自主练习
1.设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若 a∥b，b∥c，则 a∥c；②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c；③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；④若 a⊂平面α，b⊂平面β，则 a，b 一定是异面直线.上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).
解析：由公理 4 知①正确；当 a⊥b，b⊥c 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故②错误；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故③错误；a⊂平面α，b⊂平面β，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故④错误.故填②③④.
2.(2018 年福建厦门模拟)下列四个命题中，真命题的个数
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l.
解析：过不共线的三点有且只有一个平面，因此①正确；若两直线异面则不能确定一个平面，因此②不正确；正方体中一个顶点引出的三条棱，不在同一平面内，因此
由公理可知④正确，故选 B.
3.下列推断中，错误的是(
A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且 A，B，C 不共线⇒α，β重合
【题后反思】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作l α，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理1 是判断直线在平面内的依据；公理2的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据.
考点 2 三点共线、三线共点的证明
[例 1]如图 8-3-2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是 AB 和 AA1 的中点.求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点.图 8-3-2
证明：(1)如图 8-3-3，连接 EF，CD1，A1B.
∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点，∴EF∥BA1.又 A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F 四点共面.
∴CE与D1F必相交.设交点为点P，如图8­3­3，则由点P∈CE，CE⊂平面ABCD，得点P∈平面ABCD.同理点P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴点P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.
【考法全练】1.如图 8-3-4，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C l，直线AB∩l＝M，过 A，B，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通
A.点 AC.点 C 但不过点 M
B.点 BD.点 C 和点 M
解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理 3 可知，M 在γ与β的交线上.同理可知，点 C 也在
γ与β的交线上.故选 D.
2.如图 8-3-5 所示，ABCD-A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是
A.A，M，O 三点共线C.A，M，C，O 不共面
B.A，M，O，A1 不共面D.B，B1，O，M 共面
解析：连接 A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A，M，O三点共线.
考点 3 空间内两直线的位置关系
[ 例 2](1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是线段
BC，CD1 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是(
解析：如图 8-3-6 所示，直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.
其中正确的结论为________.
(2)如图8­3­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.　
解析：∵点 A 在平面 CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，
直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，∴AM与CC1是异面直线.故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交.故②错；∵点B1与BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，∴BN与MB1是异面直线.故③正确；同理④正确，故填③④.
(3)(2019 年全国Ⅲ)如图 8-3-8，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，点 M 是线
段 ED 的中点，则(
图 8-3-8A.BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线B.BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线C.BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线D.BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线
解析：如图 8-3-9 所示，作 EO⊥CD 于 O，连接 ON，过 M作 MF⊥OD 于 F，连 BF，∵平面 CDE⊥平面 ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面 CDE，∴EO⊥平面 ABCD，MF⊥平面 ABCD，
∴△MFB 与△EON 均为直角三角形.
【题后反思】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用公理 4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种判断方法：①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；②在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
1.下列如图 8-3-10 所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填所有满足条件图形的序号，下题同).
解析：易知①③中 PS∥QR，所以四点共面.在②中构造如图 D65 所示的含点 P，S，R，Q 的正六边形，易知四点共面.在④中，由点 P，R，Q 确定平面α，由图象观察知点 S 在平面α外，因此四点不共面.综上知，故填①②③.
2.如图 8-3-11，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线 GH，MN 是异面直线的图形有________.
解析：图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点在三棱柱的侧面上，MG 与这个侧面相交于 G，∴M 平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M，N 共面，但 H 平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面.
[例 3](1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点.①AC 与 D1D 所成的角为__________________；②AC 与 C1D 所成的角为__________________；③BD1 与 CE 所成角的余弦值为____________.
解析：根据题意作图，如图 8-3-12，①D1D∥A1A，A1A⊥
AC，所以 AC⊥D1D，即 AC 与 DD1 成 90°角；
②AC∥A1C1，AC与C1D所成的角为∠A1C1D，而△A1C1D
所以∠A1C1D＝60°，所以AC，与C1D成60°角；
答案：①90° ②60°
解析：如图 8-3-13，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，平
面CB1D1∩平面ABB1A1＝n′
∵α∥平面CB1D1，∴m∥m′，n∥n′.
(3)(2015 年浙江)如图8-3-14，三棱锥 A-BCD 中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是________.
解析：如图 8-3-15，连接 DN，取 DN 中点 P，连接 PM，PC，则可知∠PMC 为异面直线 AN，CM 所成的
【题后反思】(1)求异面直线所成的角的常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择端点、中点、等分点，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.
【考法全练】3.(2020 年江西一模)在四面体 ABCD 中，BD＝AC＝2，AB
解析：如图 D66，把四面体 ABCD 补成一个长、宽、高分取 AB 的中点 G，连接 GE，GF.因为 G，F 分别是 AB，BC 的中点，
4.如图8­3­16，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.则BD1与C1N所成角的余弦值为________.
解析：如图 D67 所示，将长方体ABCD­A1B1C1D1平移到BCFE­B1C1F1E1的位置.则C1E∥BD1，C1E与C1N所成的
锐角(或直角)就是BD1与C1N所成的角.
⊙空间中的线面关系[例 4]如图 8-3-17，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线 AC，且平面α截得正方体的六个表面得到截面
六边形，记此截面六边形的面积为 S，周长为 l，则(A.S 为定值，l 不为定值B.S 不为定值，l 为定值C.S 与 l 均为定值
D.S 与 l 均不为定值
解析：设平面α截得正方体的六个表面得到的截面六边形为ω，ω与正方体的棱的交点分别为I，J，N，M，L，K(如图8-3-18)，
答案：B【策略指导】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难题.
【高分训练】(2018 年全国Ⅰ)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值
解析：每条棱所在直线与平面α所成的角相等，如图 D68，
所得截面面积的最大值为正六边形的面积 S＝6×
两点问题：主要题型的解题方法：(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在这两个平面的交线上，因此共线.