《高考总复习》数学 第二章 第12讲 函数与方程[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第二章 第12讲 函数与方程[配套课件]，共47页。PPT课件主要包含了函数的零点，二分法，题组一，走出误区，图D9，图D10，所以D错误，故选B，答案B，题组三等内容，欢迎下载使用。

(1)方程 f(x) ＝ 0 有实根 ⇔ 函数 y ＝ f(x)的图象与 x 轴有________⇔函数 y＝f(x)有零点.(2)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且有 f(a)·f(b)______0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.一般把这一结论称为零点存在性定理.
如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(m)·f(n)<0，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲
线，则下列说法正确的是(
A.若 f(a)f(b)>0，不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0B.若 f(a)f(b)>0，有可能存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0C. 若 f(a)f(b)<0 ，存在且只存在一个实数 c ∈(a ，b) 使得f(c)＝0D.若 f(a)f(b)<0，有可能不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0
解析：首先，设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象如图 D9：
图 D9 满足 f(a)f(b)>0，有可能存在实数 c ∈ (a ，b)使得f(c)＝0，故 A 错误，B 正确；其次，设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象如图 D10：
图 D10 满足 f(a)f(b)<0，但 C 错误；
根据零点存在定理，一定存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0，
题组二 走进教材2.(必修 1P92 第 1 题改编)如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用
二分法求出函数 f(x)零点的区间是(图 2-12-1
B.[1.9，2.3]D.[5，6.1]
A.[－2.1，－1]C.[4.1，5]答案：B
3.(必修 1P92 第 4 题改编)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由表知函数 y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有零点的
A.(－1，0)C.(1，2)
B.(0，1)D.(2，3)
解析：当 x＝－1 时，f(－1)－g(－1)＜0；当 x＝0 时，f(0)－g(0)＜0；当 x＝1 时，f(1)－g(1)＞0；当 x＝2 时，f(2)－g(2)＞0；当 x＝3 时，f(3)－g(3)＞0.
因为函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，
由零点存在定理可得，函数 y 在(0，1)存在零点.故选 B.
包含 f(x)的零点的区间是(A.(0，1)C.(2，4)
B.(1，2)D.(4，＋∞)
在性定理可知选 C.答案：C
数图象，如图 D11，由图可知，函数 g(x)与 h(x)的图象有 2 个交点.故零点个数为 2.
函数零点的判定 自主练习
1.若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋
(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选 A.
2.(2019 年河南郑州模拟)函数 f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内
解析：作出函数 y＝|x－2|与 g(x)＝ln x 的图象，如图 D12所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数 f(x)在定义域内有 2 个零点.故选 C.图 D12答案：C
则关于 x 的方程 f 2(x)－5f(x)＋4＝0 的实数根的个数为(
　　　方法一，由f2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或f(x)＝4.若f(x)＝1，当x≥0时，即5|x－1|－1＝1，5|x－1|＝2，解得x＝1±lg52；当x<0时，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或x＝－3.若f(x)＝4，当x≥0时，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1，解得x＝0或x＝2；当x<0时，即x2＋4x＝0，解得x＝－4.故所求实根个数共有7个.故选D.
方法二，由 f2(x)－5f(x)＋4＝0，得 f(x)＝1 或 f(x)＝4.作出f(x)的图象如图 D13.由 f(x)的图象，可知 f(x)＝1 有 4 个根，f(x)＝4 有 3 个根.∴方程 f2(x) －5f(x)＋4＝0 有 7 个根.故选 D.
【题后反思】判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上[如第 3 题]；②利用函数零点的存在性定理进行判断[如第 1 题]；③通过函数图象，观察图象给定区间上的交点来判断[如第 2 题].
根据函数零点的存在情况
g(x)＝f(x)－|kx2 －2x|(k∈R)恰有 4 个零点，则 k 的取值范围是
当 k<0 时，如图 2-12-3，此时 y＝|kx－2|与 h(x)＝
恒有 3 个不同交点，满足题意；当 k>0 时，如图 2-12-4，当 y＝kx－2 与 y＝x2 的图象相切时，联立方程得 x2－kx＋2＝0，
图 2-12-4答案：D
解析：g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，得 f(x)＝－x－a.若 g(x)存在 2个零点，即直线 y＝－x－a 与 f(x)的图象有 2 个交点.如图 2-12-5，实数 a 的取值范围是－a≤1，a≥－1.
图 2-12-5答案：C
f(x)－b 有三个零点，则实数 b 可取的值可能是(
解析：由题意，函数 g(x)＝f(x)－b 有三个零点，则函数 g(x)＝f(x)－b＝0，即 f(x)＝b 有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则 f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)由 f′(x)<0 得 x＋2<0，即 x<－2，此时 f(x)为减函数，由 f′(x)>0 得 x＋2>0，即－2图象如图 2-12-6：
要使 f(x)＝b 有三个根，则 0【题后反思】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
讨论函数 f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的个数.解：令 f(x)＝0，即 x2－2|x|－1＝a.
令 g(x)＝x2－2|x|－1，h(x)＝a 则问题转化为求函数 g(x)的
图象与直线 y＝a 交点的个数.
作出函数 g(x)的图象，如图 D14 所示.
当 a 在 R 上取值时，函数 h(x)的图象是一系列垂直于 y 轴
①当 a<－2 时，g(x)的图象与直线 y＝a 无交点，方程 x2－
2|x|－1＝a 无实根，即函数 f(x)无零点；
②当 a＝－2，或 a>－1 时，g(x)的图象与直线 y＝a 的图象
有两个交点，即函数 f(x)有两个零点；
③当－2点，即函数 f(x)有四个零点；
④当 a＝－1 时，函数 g(x)的图象与直线 y＝a 有三个交点，
即函数 f(x)有三个零点.
综上所述，当 a<－2 时，函数 f(x)无零点；
当 a＝－2，或 a>－1 时，函数 f(x)有两个零点；当－2二分法的应用 多维探究
[例 2]已知函数 f(x)＝ln x＋2x－6.(1)求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数；(2)求证：函数 f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过
(1)证明：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，设 x1(2)证明：∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2，3)上至少有一个零点.又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有一个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点.(3)解：由(2)知，f(x)的零点 x0 在(2，3)上，
【题后反思】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能用来求函数的变号零点.
(2)给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值的步骤
①确定区间[m，n]，验证 f(m)·f(n)<0，给定精度ε；②求区间[m，n]的中点 x1；
③计算 f(x1)：ⅰ.若f(x1)＝0，则x1 就是函数 y＝f(x)的零点；ⅱ. 若 f(m)·f(x1)<0 ，则令 n ＝x1[ 此时零点 x0 ∈(m ，x1)] ；ⅲ. 若 f(x1)·f(n)<0，则令 m＝x1[此时零点 x0∈(x1，n)]；
④判断是否达到精度ε：若|m－n|≤ε，则得到零点近似值
m(或 n)；否则重复步骤②～④.
【考法全练】若函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对值
不超过 0.25，则 f(x)可以是(A.f(x)＝4x－1
B.f(x)＝(x－1)2
C.f(x)＝ex－1
2x－2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的零点适合.答案：A
⊙运用函数与方程的思想判断方程根的分布[ 例 3](2019 年 浙 江 ) 已 知 a ， b ∈ R，函 数 f(x) ＝
A.a<－1，b<0C.a>－1，b<0
B.a<－1，b>0D.a>－1，b>0
解析：当 x<0 时，y＝f(x)－ax－b＝x－ax－b＝(1－a)x－b＝0，
；y＝f(x)－ax－b 最多有一个零点；
y′＝x2－(a＋1)x，当 a＋1≤0，即 a≤－1时，y′≥0，y＝f(x)－ax－b 在 [0， ＋∞)上递增，y＝f(x)－ax－b 最多有一个零点.不合题意；
当 a＋1>0，即 a>－1 时，令 y′>0 得 x∈[a＋1，＋∞)，函数递增，令 y′<0 得 x∈[0，a＋1)，函数递减；函数最多有 2 个零点；根据题意函数 y ＝f(x) －ax －b 恰有 3 个零点⇔ 函数 y ＝f(x)－ax－b 在(－∞，0)上有一个零点，在[0，＋∞)上有 2 个零点，如图 2-12-7，
图 2-12-7答案：C
【策略指导】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及[0，1]两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
【高分训练】已知 f(x)是在 R 上的奇函数，满足 f(x)＝f(2－x)，且 x∈[0，1]时，函数 f(x)＝2x－1，函数 g(x)＝f(x)－lga x(a>1)恰有 3 个零
点，则 a 的取值范围是(
解析：f(x)是在 R 上的奇函数，满足 f(x)＝f(2－x)，函数关于 x＝1 对称，f(x)＝－f(x－2)，可得 f(x＋4)＝f(x)，函数的周期为 4，且 x∈[0，1]时，函数 f(x)＝2x－1，函数的图象如图 D15：
函数 g(x)＝f(x)－lgax 恰有 3 个零点，就是方程 f(x)＝lgax的解个数为 3，可得 y＝f(x)与 y＝lgax 由 3 个交点，两个函数的图象夹在曲线 l1 与 l2，之间满足条件，所以 lga5<1，并且 lga9>1，解得 a∈(5，9)故选 D.
1.判断函数零点个数的常见方法：
(1)直接法：解方程 f(x)＝0，方程有几个解，函数 f(x)就有
(2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的
交点个数即为函数 f(x)的零点个数；
(3) 将函数 f(x) 拆成两个常见函数 h(x) 和 g(x) 的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数 f(x)的零点个数即为函数 y＝h(x)与函数 y＝g(x)的图象的交点个数；
(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ
2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法：
(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是
否有根落在给定区间上；
(2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否