《高考总复习》数学 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]

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1.正弦定理与余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
1.(多选题)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，下列结论一定正确的是(A.a2＝b2＋c2－2bccs AB.asin B＝bsin AC.a＝bcs C＋ccs BD.acs B＋bcs C＝c
可得 asin B＝bsin A，故 B 正确；
解析：根据余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bccs A，故 A 正确；
a bsin A sin B
根据正弦定理，a＝bcs C＋ccs B⇒sin A＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，故 C 正确；根据正弦定理的边角互化可得 sin Acs B ＋sin Bcs C ＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，sin Bcs C＝cs A·sin B，又 sin B≠0，所以 cs C＝cs A，当 A＝C 时，等式成立，故 D 不正确；故选 ABC.答案：ABC
2.(必修 5P4 练习 1 改编)在 △ABC 中，已知 A＝45°，C＝30°，c＝10，则 a＝________.
3.(必修 5P8 练习 2 改编)在△ABC 中，已知 a＝7，b＝10， c＝6，则最大角的余弦值为________.解析：由余弦定理得，最大角的余弦值为
题组三 真题展现4.(2017 年全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcs B＝acs C＋ccs A，则 B＝______________.解析：方法一，由 2bcs B＝acs C＋ccs A，得 2sin Bcs B＝sin Acs C＋cs Asin C＝sin(A＋C)＝sin B， 方法二，2bcs B＝acs C＋ccs A
5.(2019 年上海)在△ABC 中，AC＝3，3sin A＝2sin B，且解析：∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得 3BC＝2AC，∴由 AC＝3，可得 BC＝2，
1.(2017 年全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c. 已知 sin B ＋sin A(sin C －cs C) ＝0 ，a ＝2 ，c ＝ ，则
解析：由题意，得 sin(A＋C)＋sin A(sin C－cs C)＝0，得sin Acs C＋cs Asin C＋sin Asin C－sin Acs C＝0，即 sin C·
2.(2019 年全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋acs B＝0，则 B＝__________.解析：bsin A＋acs B＝0，即 bsin A＝－acs B，即 sin Bsin A＝－sin Acs B，sin B＝－cs B，
3.(2015 年全国Ⅰ) 在平面四边形 ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是________________.
解析：如图 D21，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A与 E 重合时，AB 最长，在△BCE 中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝
此时与 AB 交于 F.在△BCF 中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝
4.(2019 年全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
解析：由 asin A－bsin B＝4csin C，得 a2－b2＝4c2，a2＝
【题后反思】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
考点 2 正弦定理与余弦定理的综合应用
[例 1](2019 年全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.(1)求 A；(2)若 a＋b＝2c，求 sin C.解：(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得 b2＋c2－a2＝bc.
因为 0°sin B.
两种策略：(1)解三角形时，已知角多考虑用正弦定理，已
知边多考虑用余弦定理.