《高考总复习》数学 第四章 第4讲 平面向量的应用举例[配套课件]
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这是一份《高考总复习》数学 第四章 第4讲 平面向量的应用举例[配套课件],共40页。PPT课件主要包含了题组一走出误区,答案ACD,题组二,走进教材,A矩形,B正方形,C菱形,D梯形,答案C,题组三等内容,欢迎下载使用。
1.向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数.
(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b ⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:
a⊥b ⇔a·b=0⇔________________.(3)求夹角问题,利用夹角公式:
x1x2+y1y2=0
2.平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.
1.(多选题)下列命题正确的是(
3.(2019 年天津)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2
AD=5,∠BAD=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE=解析:由题意,画出示例图形如图 D27.图 D27设∠BAE=θ,AE=BE=a,∵AD∥BC,∴θ=30°.
∴AE=BE=a=2.
4.(2020 年北京)已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 满足
解析:以点 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x,y
轴建立如图 D28 所示的平面直角坐标系,
则点 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),
内的一点,则AP·AB的取值范围是(
考点 1 平面向量在平面几何中的应用
1.(2020 年新高考Ⅰ)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF
2.(2019 年江苏)如图 4-4-1,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,
的值是________.
解析:如图 D29,过点 D 作 DF∥CE,交 AB 于点 F,由BE=2EA,D 为 BC 中点,知 BF=FE=EA,AO=OD.
3.(多选题)已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形,D,E 分
于点 O,则下列说法正确的是(
解析:由题意知 E 为 AB 中点,则 CE⊥AB,以 E 为原点,EA,EC 分别为 x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图 D30 所示.所以,E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,
故选 BCD.答案:BCD
【题后反思】用向量方法解决平面几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的
几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系;③把运算结果“翻译”成几何关系.
建立平面几何与向量的联系的主要途径是建立平面直角坐标系,将问题坐标化,利用平面向量的坐标运算解决有关问题.
考点 2 平面向量在解析几何中的应用
[例 1](1)(2017 年北京)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的
(3)(2016 年上海)如图 4-4-2,已知点 O(0,0),A(1,0),B(0,
(4)已知|a|=3,|b|=4,a·b=0,若向量满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的取值范围是__________.解析:设 a=(3,0),b=(0,4),c=(x,y),(a-c)·(b-c)=(3-x,-y)·(-x,4-y)=x2-3x+y2-4y=0,
数的图象和性质,得到OP·BA的取值范围.本题主要考查学生的
【题后反思】例 1(3)题解答利用数形结合思想,将问题转化到单位圆中,从而转化成平面向量的坐标运算,利用三角函
逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
【考法全练】(2014 年湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),
⊙向量中最值问题的解法
解析:设 a=(x,y),b=(m,n),e=(1,0),
由 b2-4e·b+3=0,得 m2+n2-4m+3=0,即(m-2)2+n2=1.
(3)(2020年天津)如图 4-4-4,在四边形 ABCD中,∠B=60°,
的最小值为________.
以点 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴建立如图 4-4-5 所示的平面直角坐标系 xBy,
图 4-4-5∵BC=6,∴C(6,0),
【策略指导】与数量积或模有关的最值问题,通常通过向量共线、垂直或坐标化设出变量,将内积或模表示成关于变量的函数,进而求最值;或根据向量的几何意义,数形结合求最值.
【高分训练】(2020 年广东惠州三模)已知 a,b,c 是在同一平面内的单位向量,若 a 与 b 的夹角为 60°,则(a-b)·(a-2c)的最大值是
1.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
2.向量的两个作用:(1)载体作用:利用向量的意义、作用
脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题.
(2)工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距
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