题型六 空间向量与立体几何 ——2023届高考数学高频题型专项讲解

这是一份题型六 空间向量与立体几何 ——2023届高考数学高频题型专项讲解，共6页。学案主要包含了思路分析，考纲要求，方法技巧等内容，欢迎下载使用。
题型六 空间向量与立体几何一、思路分析空间几何体在高考中的命题重点包括空间几何体的体积和表面积的计算以及与球有关的切、接问题，题型以选择题和填空题为主.在习备考的过程中，既要训练常规题型，还要明晰高考命题新导向，如数学应用题、数学文化题以及多选题和双空题，做到复习全面高效.空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何的基础，主要以选择题、填空题的形式出现，命题热点：（1）平面的基本性质及应用；（2）空间线线、线面位置关系的判断；（3）求异面直线所成的角.要注意对新题型多选题的训练.直线、平面平行或垂直的判定及性质是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，题型既有选择题，也有解答题，在解答题中常在第（1）问设置线、面平行、垂直关系的证明或用线、面垂直的性质定理证明线线垂直等，要特别注意应用判定定理与性质定理时条件的完整，这是对解答题的解题规范的基本要求.利用向量法求解空间角每年必考，命题内容主要有三个方面：（1）异面直线所成的角；（2）直线与平面所成的角；（3）平面与平面所成的角.其中对异面直线所成的角的考查一般以选择题、填空题的形式呈现，解题方法可以利用几何法，也可以利用向量法，对线面角与二面角的考查常出现在解答题的第（2）问，向量法是较好的解题方法，特别是在处理探索性问题时，向量法更具优势.要掌握并会运用向量法求解空间角和距离问题，一是要特别重视坐标系的建立，建系的原则是简洁、清晰，便于表示相关点的坐标；二是要加强运算求解能力的训练，熟练、准确的运算是完成解答题的基本要求，在平时的训练中要养成良好的习惯，该讲对学生的直观想象、逻辑推理及数学运算素养要求较高.二、考纲要求1.空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
（2）掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理
3.直线、平面平行或垂直的判定及性质（1）了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，归纳出性质定理和判定定理，并加以证明.（2）会解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.（3）能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 4.空间向量（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间两点间的距离公式
（2）了解空间向量的概念及运算，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
（3）能用向量方法证明直线、平面位置关系的判定定理.
（4）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.
三、方法技巧1.求空间几何体的表面积的方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平
面图形面积的方法求多面体的表面积.
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
2.求空间几何体体积的常用方法
（1）直接法；对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规划的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
（3）等体积法：通过转换底面和高来求几何体的体积，即通过将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高进行求解、常用于求三棱锥的体积.
3.有关几何体的外接球、内切球计算问题的常用求解方法
（l）与球有关的组合体问题有两种：一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.
（2）对于球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；对于球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图解题.
4.求异面直线所成角的方法
（1）平移法：平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移.
（2）向量法：设异面直线a，b的方向向量分别为a，b，则异面直线a，b所成角的余弦值等于，再结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角.
（3）坐标法：建立空间直角坐标系求解. 5.求直线和平面所成角的基本思路
（1）可先判断直线和平面的位置关系，若直线与平面平行，则所成角为0°；若直线与平面垂直，则所成角为90°.
（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤分析问题：
①作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，将空间角（斜线与平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，这样才能便于计算.
②证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
③计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
6.证明直线与平面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义.
（2）利用线面平行的判定定理：关键是在平面内找与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找两平面的交线进行证明.
（3）利用面面平行的性质定理：①直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行.
②直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行. 7.判定平面与平面平行的方法
（1）利用定义，常用反证法完成.
（2）利用面面平行的判定定理.
（3）利用面面平行的判定定理的推论.
（4）面面平行的传递性.
（5）利用线面垂直的性质.
（6）用向量法证明平面与平面平行.
8.证明线面垂直的常用方法
（1）利用线面垂直的判定定理.（2）利用面面垂直的性质定理.
（3）利用面面平行的性质.
（4）利用垂直于平面的传递性.
9.证明面面垂直的常用方法
（1）面面垂直的判定定理：此方法将面面垂直问题转化为线面垂直问题，一般找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行.
（2）只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为90°即可.
（3）面面垂直的性质定理
10.利用空间向量证明平行问题的方法
（1）线线平行：证明两条直线的方向向量共线.
（2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
（3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题.
11.利用空间向量证明垂直问题的方法
（1）线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.
（2）线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.
（3）面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直.
12.向量法求角问题的解题步骤
（1）识图：分析几何体，找出确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中的数量关系；
（2）建系设点：寻找题目中有三条直线两两垂直的特征，建立空间直角坐标系，从而确定点的坐标；
（3）求向量坐标：用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标；
（4）计算或证明：利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明.
13.解决立体几何中探索性问题的技巧
（1）涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，所求点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点，求解时注意三点共线条件的应用.
（2）借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数（变量）表示出来，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组没有满足题设要求的解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.