题型四 平面向量——2023届高考数学高频题型专项讲解

这是一份题型四 平面向量——2023届高考数学高频题型专项讲解，共4页。学案主要包含了思路分析，考纲要求，方法技巧等内容，欢迎下载使用。
题型四 平面向量一、思路分析平面向量的概念及运算、平面向量基本定理及坐标运算，在高考中的考查突出向量的基本运算与工具性，命题重点为平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向量共线的坐标表示，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度较低，要注重掌握向量的数与形的特征，同时要掌握用坐标法解决向量问题.平面向量的数量积及应用是高考命题的热点，每年必考，主要考查平面向量的数量积运算，模、夹角问题的求解，平行或垂直问题的求解，有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查，主要以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，要掌握运用数形结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.二、考纲要求1.平面向量的概念
（1）了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
（2）理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.平面向量的运算
（1）掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义，
（2）掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.
（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 3.平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
（2）了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.平面向量的基本定理及坐标运算
（1）理解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.
（5）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
三、方法技巧1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再通过向量的运算来解决.
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
2.向量线性运算的解题策略
（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.
（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
3.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧（1）利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.（2）利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方程（组）进行求解.
4.求非零向量a，b的数量积的方法
（1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角.
（2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底（基底中的向量要已知模或夹角），利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.
（3）坐标法：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.
5.求模的取值范围或最值时常用的技巧
（1）常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值.
（2）要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值. 6.向量的坐标运算问题的求法
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
7.解决向量在平面几何中的应用问题的方法
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决.
（2）基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.

8.解决向量在物理中的应用问题的策略
（1）力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
（2）动量是数乘向量；
（3）功W是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即（为F与s的夹角）.
9.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
（l）若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用向量共线或垂直或等式成立等得到三角函数的关系式，然后求解.
（2）若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模，则解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性等解决问题.
10.平面向量中有关最值（或取值范围）问题的求解思路
（1）“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
（2）“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.