题型五 数列 ——2023届高考数学高频题型专项讲解

这是一份题型五 数列 ——2023届高考数学高频题型专项讲解，共6页。学案主要包含了思路分析，考纲要求，方法技巧等内容，欢迎下载使用。
题型五 数列一、思路分析数列的概念和递推公式是高考的热点，主要考查已知递推关系求通项公式、由与的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度中等.等差数列是高考的重点考查知识，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式等，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题，要善于运用函数与方程思想和整体带入思想解决有关等差数列问题，同时要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.等比数列是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意证明题或以数学文化为背景的数列题，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等，要会运用函数与方程思想、转化与化归思想和分类讨论思想解题，也要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.数列求和及数列综合应用是高考的热点题型，其中等差、等比数列的通项与求和，数列与函数、不等式的综合，以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，难度中等，要注重常规考法，也要注重数列与其他知识的综合创新，同时也要注重对结构不良类试题的训练.二、考纲要求1.数列的概念和递推公式（1）了解数列的概念及表示方法，理解数列的通项公式的意义.
（2）理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项.
（3）理解与的关系.
2.等差数列（1）理解等差数列的概念和通项公式的意义.
（2）掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
（3）了解等差数列与一次函数的关系.
 3.等比数列（1）理解等比数列的概念和通项公式的意义
（2）掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
（3）了解等比数列与指数函数的关系.
4.数列求和及数列综合应用（1）掌握几种常用的数列求和方法.（2）掌握数列的综合应用.
三、方法技巧1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略：
（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.
（2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③各项的符号特征和绝对值特征；
④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑤对于符号交替出现的情况，可用或，处理.
2.等差数列前n项和的最值求解得常用方法（1）通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；（2）前n项和法：其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值. 3.利用等差数列前n项和解决实际问题的步骤：（1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列；
（2）若是等差数列，找出首项、公差、项数；
（3）确认问题是求还是；
（4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解. 4.解决等差数列前n项和的基本运算题的思路方法及注意事项：（1）注意公式与的选择使用；
（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，，，，已知其中三个就能求另外两个，注意方程思想的应用；
（3）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法，同时注意灵活应用等差数列的性质以简化计算过程. 5.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤（1）构建等比数列模型；
（2）明确，q，n，等基本量；
（3）利用求解；
（4）还原为实际问题. 6.判定数列是等比数列的常用方法：（1）定义法：验证（q为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即）起所有项都满足此等式；
（2）等比中项法：验证（，且）是否成立；
（3）通项公式法：验证是否成立，但应注意隐含条件是，. 7.解决等比数列前n项和的实际应用问题的基本步骤（1）将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
（2）构建等比数列模型；
（3）利用等比数列的前n项和公式求解等比数列问题；
（4）将所求结果还原到实际问题中. 8.等比数列基本运算中的常用技巧：
（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为（注意：此时公比，并不适合所有情况）.这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.
（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用. 9.用错位相减法解决数列求和问题的步骤：
（1）判断结构：若数列是由等差数列与等比数列（公比q）的对应项之积构成的，则可用此法求和；
（2）乘公比：设的前n项和为，然后两边同乘以q；（3）错位相减：乘以公比q后，向后错开一位，使含有的项对应，然后两边同时作差；
（4）求和：将作差后的结果求和，从而表示出. 10.利用裂项相消法求和的基本步骤
（1）裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
（2）累加：将数列裂项后的各项相加
（3）消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n项和.

11.解决数列与不等式综合问题的一般步骤
（1）由已知条件和数列性质求基本量，确定数列的特性（等差或等比数列）；
（2）求出或的通项公式；
（3）分析，涉及的函数或不等式，利用相关函数或不等式性质解决题目中的问题；
（4）得出结果，叙述完整；
（5）回顾反思，查验“n”的取值是否符合要求，运算过程是否有不当之处.
12.数列与不等式的综合问题的解题策略
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.
（2）对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，有时需构造函数，利用函数的单调性，最值来证明.
13.数列与函数的综合问题的解题策略
（1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究.
（2）已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.
（3）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.

14.数列在实际应用中的常见模型
（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.
（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项与第项（或者相邻三项等）之间的递推关系还是前n项和与前项和之间的递推关系.
15.解答数列实际应用题的步骤
（1）审题：仔细阅读题目，认真理解题意.
（2）建模：将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，分清数列是等差数列、等比数列，还是递推数列，是求通项还是求前n项和.
（3）求解：求出该问题的数学解.
（4）还原：将所求结果还原到实际问题中.