专题一 集合与常用逻辑用语——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】

专题一 集合与常用逻辑用语 

（一）高考考点解读

（二）核心知识整合

考点1：集合的概念及运算

1.集合的运算性质及重要结论

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．

(3)空集是任何集合的子集.

(4)含有n个元素的集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个.

（5）a.；

     b.；

     c.；

     d..

2.集合运算中的常用方法

（1）数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.

（2）图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.

（3）Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图法求解.

『解题技巧』

先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为：

①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．

②若给定的集合是点集，用图象法求解．

③若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．

提醒：莫忽视集合的讨论，若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能性．

[典型例题]

1.已知,则下列关系正确的是(   )
A. B. C. D.

[答案]：D

[解析]　 由集合M中得，则.由集合N中，解得，则集合，所以选项A,B，C错误，故选D.

 [变式训练]

2.已知集合，则M的非空子集的个数是(   )
A.7      B.8      C.15     D.16

[答案]：C

[解析] 由题意得，，所以M的非空子集的个数是.故选C.

考点2：全称量词与存在量词

1. 全(特)称命题及其否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0) ；

(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) ；

(3)命题p∨q的否定是(¬p)∧(¬q)；命题p∧q的否定是(¬p)∨(¬q)．

『解题技巧』

 (1)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：

①全称命题：要判定一个全称命题的真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；

②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．

提醒：含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一-是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不可.

 [典型例题]

1.已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是(   )

A． B． C． D．

[答案]：B

[解析]  因为命题“，使”是假命题，

所以，恒成立，

所以，解得，

故实数a的取值范围是．故选B.

[变式训练]

2.若“，”为假命题，则k的取值范围为(   )

A. B. C. D.

[答案]：A

[解析]  依题意知命题“，”为假命题，

则“，”为真命题，

所以，则，

解得，所以k的取值范围为.故选A.

考点3：充分与必要条件的判断

若p 、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，

那么有以下结论：

『解题技巧』

判定充分条件与必要条件的3种方法

(1)定义法：正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．

(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)：若A＝B，则是B的充要条件．

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

提醒：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．

[典型例题]

1.若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是(   )

A. B. C. D.

[答案]：D

[解析]　 因为若不等式的解集为，

所以与3是方程的两个根，且，

所以，

所以可化为，

解得.A，B，C，D四个选项中，只有选项D满足，

所以成立的一个必要不充分条件是D选项.

 [变式训练]

2.若集合，，则“且”的充要条件是(   )

A. B. C. D.

[答案]：D

[解析]  集合,,且,,
又当时，满足且,
“且”的充要条件是“”.故选D