专题四 三角函数 第二讲 三角恒等变换与解三角形 ——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】

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专题四 三角函数第二讲 三角恒等变换与解三角形（一）高考考点解读高考考点 考点解读三角函数的概念、同角三角数的基本关系、诱导公式的应用1.根据三角函数的定义、诱导公式及同角公式化简、求值2.应用诱导公式或同角公式进行三角恒等变换三角恒等变换1.利用和、差角公式、二倍角公式化简、求值或求角2.与三角函数图象与性质交汇考查解三角形1.在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算2.结合正、余弦定理进行面积计算3.利用正、余弦定理解决距离、高度、角度等实际问题（二）核心知识整合考点1：三角函数的概念、同角三角数的基本关系、诱导公式的应用1.同角三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(2)商数关系：tan α＝　2.诱导公式(1)公式：公式一：.公式二：公式三：公式四：公式五：公式六：(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看．『解题技巧』1.运用定义可求解的两类问题(1)求三角函数值(或角)当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需进行分类讨论．(2)建模由于三角函数的定义与单位圆存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系．2．利用同角三角函数的关系式化简与求值的三种常用方法(1)切弦互换法：利用tan α＝进行转化．(2)和积转化法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化．(3)常值代换法：其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tan α＝联合使用，可根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．提醒：同角关系应用题型：利用同角三角函数的平方关系开方时，不能忽略判断角所在的象限，正确判断三角函数符号．[典型例题]1.已知，则的值为(   ).A. B. C. D.[答案]：B[解析] ，.故选B.[变式训练]2.已知角A是的一个内角，若则(   )A. B. C. D.[答案]：D[解析] 利用可得 可知A为钝角，解方程组
得所以..故选D.考点2：三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β　；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝；(4)辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)＝cos(α＋θ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝．3. 降幂公式(1)sin2α＝；(2)cos2α＝.『解题技巧』(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．提醒：1.应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．2.不能忽视解的实际意义，求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．[典型例题]1.已知,则的值为(   )
A. B. C. D.[答案]：C[解析] ，，
.故选C.[变式训练]2.若，则(   )A. B.或 C.或 D.[答案]：B[解析]  由题可得，即，所以或.又，所以当时，即，，则.当时，.故选B.考点3：解三角形1.正弦定理＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．sin A＝，sin B＝，sin C＝．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．2. 余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C．3.面积公式S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C．『解题技巧』关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．提醒：1.对两角和差，二倍角公式，辅助角公式要非常熟悉，才能正确化简.2.注意正弦，余弦定理的应用和边角互化.3.注意三角形内角和为180，角之间的相互表达. [典型例题]1.已知A，B，C为的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若，且，则(   ).A. B. C. D.[答案]：A[解析] 由得，由正弦定理得，又，则，由余弦定理得，由得，故选A.[变式训练]2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，的面积为，则的最小值为(   )A. B. C. D.[答案]：C[解析] 因为，所以，所以.又因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，或，时，等号成立，故的最小值为.故选C.