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北师大版五年级数学上册第3单元 倍数和因数 知识点单元义+经典例题（含解析）
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这是一份北师大版五年级数学上册第3单元 倍数和因数 知识点单元义+经典例题（含解析），共26页。
一、知识梳理
知识点一：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法
1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4 ， 5······
2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。
3. 2、5的倍数的特征与奇偶数
（1）5的倍数个位上是0或5。
（2）2的倍数个位上是0、2、4、6、8。
（3）既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0；
（4）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。
4. 3的倍数的特征
3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。
知识点二：找因数和质数
1.找一个数的全部因数的方法：
（1）找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找；
（2）最小因数都是1；
（3）最大因数是自己；
2. 找质数的方法：
（1）质数的因数只有1和它本身；
（2）合数除1和它本身以外还有别的因数；
（3）除0和2以外，所有的偶数都是合数。
二、精练精讲
倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法
【例1】在2，6，15，21，40，56，72，84这些数中， 6、15、21、72、84 是3的倍数， 40、56、72、84 是4的倍数．
【思路分析】首先根据找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，判断出在2，6，15，21，40，56，72，84这些数中，3、4的倍数各有哪些．
【规范解答】解：在2，6，15，21，40，56，72，84这些数中，6、15、21、72、84是3的倍数，40、56、72、84是4的倍数．
故答案为：6、15、21、72、84，40、56、72、84．
【名师点评】此题主要考查了找一个数的倍数的方法，要熟练掌握．
1．根据算式“63÷7＝9”，我知道： 63 是7和9的倍数， 7 和 9 是63的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：根据算式“63÷7＝9”，我知道：63是7和9的倍数，7和9是63的因数．
故答案为：63，7，9．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
2．根据算式“5×6＝30”，我知道：30是 5 和 6 的倍数；5和 6 是30的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：根据算式“5×6＝30”，则30÷5＝6，我知道：30是5和6的倍数；5和6是30的因数．
故答案为：5，6，6．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
3．（2020春•隆回县期末）在3×7＝21中， 21 是3的倍数， 3 和 7 都是21的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：在3×7＝21中，21是3的倍数，3和7都是21的因数．
故答案为：21，3、7．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
找因数和质数的方法
【例2】找一找．
1、42、2、36、3、18、4、48、6、9、10、12、20、24、30、90、5、60、54、15
6的倍数： 42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54 ．
60的因数： 1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15 ．
既是6的倍数，又是60的因数： 6，12，30，60 ．
【思路分析】根据因数、倍数的意义可知：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数．两个数公有的因数就是这两个数的公因数．据此解答．
【规范解答】解：在1、42、2、36、3、18、4、48、6、9、10、12、20、24、30、90、5、60、54、15中，
6的倍数有：42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54．
60的因数有：1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15．
既是6的倍数，又是60的因数的数有：6，12，30，60．
故答案为：42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54；1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15；6，12，30，60．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，掌握求一个数的因数的方法、求一个数的倍数的方法及用．
1．用18个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填．
长
18
宽
1
18的全部因数： 1，2，3，6，9，18 ．
【思路分析】根据长方形的面积＝长×宽，因为18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有3种拼法．一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．据此解答．
【规范解答】解：因为18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有3种拼法．
用18个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填．
长
18
9
6
宽
1
2
3
18的因数有：1，2，3，6，9，18．
故答案为：1，2，3，6，9，18．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法及应用．
2．（2019秋•惠城区校级期末）16的最大因数是 16 ，最小倍数是 16 ．16和24的最小公倍数是 48 ．
【思路分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；由此可知：16的最大因数是 16，最小倍数是 16；
然后根据求两个数的最小公倍数的方法：求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有的因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答即可．
【规范解答】解：16的最大因数是 16，最小倍数是 16．
16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3，所以16和24的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48；
故答案为：16，16，48．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，以及求两个的数的公倍数的方法及应用．
3．（2020春•雁塔区期末）在横线上填上不同的质数．
21＝ 3 + 5 + 13
50＝ 3 × 7 + 29
【思路分析】根据质数的定义：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）；所以21＝3+7+11；50＝3×7+29．
【规范解答】解：根据质数的定义，则21＝3+5+13；50＝3×7+29．
故答案为：2，7，11，3，7，29．
【名师点评】本题主要考查了质数的定义．
三、巩固提升
1．两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的（ ）
A．公倍数 B．最小公倍数 C．公约数 D．最大公约数
【思路分析】根据因数和倍数的意义，以及研究因数和倍数时，为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）．由此解决问题．
【规范解答】解：两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的公倍数．
故选：A．
【名师点评】此题主要考查因数和倍数、公倍数和最小公倍数、公约数和最大公约数的意义．
2．（2020春•隆回县期末）如果a÷b＝12（a，b为整数），那么（ ）
A．a一定是b的倍数 B．a可能是b的倍数
C．b一定是a的倍数
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：如果a÷b＝12（a，b为整数），那么a一定是b的倍数；
故选：A．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
3．（2020春•顺义区期末）用2、3、4这三张数字卡片任意摆出一个三位数，这个三位数一定是（ ）的倍数．
A．2 B．3 C．5 D．6
【思路分析】根据能被2、3、5整除数的特征可知；能被2整除的数个位上要首先满足是0、2、4、6、8，然后分析能被3整除的数的特征，即求出各个数位上的和，分析是不是3的倍数，能被5整除的数个位上是0和5，据此分析由2、3、4组成的所有三位数是否满足即可．
【规范解答】解：因为3+4+2＝9，
9是3的倍数，
所以2，3，4这三张数字卡片任意摆出一个三位数，这个三位数一定是3的倍数．
故选：B．
【名师点评】解答此题的关键是：根据能被3整除的数的特征，进行解答．
4．（2020春•蕲春县期末）已知a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，a和b的最大公因数和最小公倍数分别是（ ）
A．6，210 B．30，210 C．30，420 D．15，420
【思路分析】（1）根据两个数的最大公约数等于这两个数的公有质因数的连乘积，可求出a与b的最大公约数；
（2）根据两个数的最小公倍数等于这两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积，可求出a与b的最小公倍数．
【规范解答】解：因为a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，
所以a与b的最大公因数为：2×3×5＝30；
a与b的最小公倍数为：2×3×5×2×7＝420．
故选：C．
【名师点评】此题考查的目的是要求学生掌握求两个数最大公约数与最小公倍数的方法．
5．（2020•长春）6是（ ）的最大公因数．
A．2和3 B．3和6 C．12和13 D．18和24
【思路分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1；据此解答判断．
【规范解答】解：A、2和3互质，它们的最大公因数是1；
B、3和6是倍数关系，它们的最大公因数是3；
C、12和13互质，它们的最大公因数是1；
D、18＝18＝2×3×3，24＝2×2×2×3，所以18和24的最大公因数是2×3＝6；
故选：D．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：当两个数为互质数时，这两个数的最大公因数是1；当两个数成倍数关系时，较小的那个数，是这两个数的最大公因数；对于一般的两个数，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数．
6．（2020•扶风县）自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（ ）
A．a B．b C．10 D．无法确定
【思路分析】由自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系，b是较小数，根据倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，据此解答然后选择．
【规范解答】解：自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是：b；
故选：B．
【名师点评】解答本题关键是理解：自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系．
7．（2020•惠安县）下列（ ）组数的公因数是1、2、7和14．
A．1，14 B．14，21 C．24，56 D．28，42
【思路分析】分别求出每组的的公因数，即可得出结论．
【规范解答】解：A、1和14 的公因数是1；
B、14和21 的公因数是1、7；
C、24和56 的公因数是1、2、4、8；
D、28和42 的公因数是1、2、7、14；
故选：D．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的公因数的方法．
8．（2020•嘉兴）用0、4、5这三个数字，可以组成不同的三位数．在这些三位数中，（ ）最多．
A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．10的倍数
【思路分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；先求出用0、4、5这三个数字，可以组成不同的三位数，然后进行比较即可．
【规范解答】解：用0、4、5组成的三位数有：405、450、504、540．
因为0+4+5＝9，9是3的倍数，所以组成的这些三位数都是3的倍数，其中450、504、540是2的倍数；405、450、540是5的倍数．
所以在这些三位数中，3的倍数最多．
故选：B．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．
9．（2020春•芦溪县期末）要使64□能被3整除，同时又有因数2，□最小可填 2 ．
【思路分析】根据能被2、3整除的数的特征可知：该数的个位数是偶数，该数各个数位上数的和能被3整除；进而解答即可．
【规范解答】解：根据能被2整除的数的特征可知：该数的个位是0，2，4，6，8．又因为该数能被3整除，所以该数个位上可以取2，8．题目中由强调了□里取符合题意的最小值．
故答案为：2．
【名师点评】此题考查了能被2、3整除的数的特征：即能被2整除的数的特征：该数的个位是偶数；能被3整除的数的特征：该数各个数位上数的和能被3整除．
10．（2010•西藏）甲数＝2×3×7，乙数＝2×5×7，则甲数和乙数的最大公约数是 14 ，最小公倍数是 210 ．
【思路分析】求两数的最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积；最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积．
【规范解答】解：因为甲数＝2×3×7，乙数＝2×5×7，
则甲数和乙数的最大公约数是2×7＝14，最小公倍数是2×7×3×5＝210．
故答案为：14，210．
【名师点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
11．（2010春•遂溪县校级期中）一些数是42的因数，又是7的倍数，这样的数一共有 4 个．
【思路分析】先根据找一个数的因数的方法找出42的因数，再根据求一个数倍数的方法找出7的倍数，再找到共同的数即可．
【规范解答】解：42的因数：1、2、3、6、7、14、21、42，
7的倍数：7、14、21、28、35、42…，
即是42的因数，又是7的倍数的数：7、14、21、42，共4个；
故答案为：4．
【名师点评】此题主要考查求一个数的约数和倍数的方法，关键根据题意找出符合条件的数．
12．（2009秋•旅顺口区期末）24和16的公因数有 4 个，最大公因数是 8 ．
【思路分析】根据公因数的意义：两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数．据此解答．
【规范解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
16的因数有：1、2、4、8、16；
所以24和16的公因数有：1、2、4、8；一共4个，最大公因数是8．
故答案为：4个，8．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的公因数、最大公因数的方法．
13．（2020春•武川县期末）在2、9、23、39、110、111中， 2，110 能被2整除，3的倍数有 9，39，111 ，质数有 2，23 ，合数有 9，39，110，111 ．
【思路分析】能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，除了1和它本身没有别的因数的数是质数，还有别的因数的数是合数，据此填空．
【规范解答】解：（1）2，110个位上分别是2和0，所以这两个数能被2整除．
（2）9，39，111这三个数各个数位上的数字相加的和能被3整除，所以这三个数是3的倍数．
（3）2的因数有：1.2.23的因数有：1，23．所以2，23是质数．
（4）9的因数有：1，3，9.39的因数有：1.3，13，39.110的因数有：1，2，11，55，110.111的因数有：1，3，37，111．
故答案为：2，110；9，39，111；2，23；9，39，110，111．
【名师点评】这道题目解题的关键是熟练掌握2，3，5的倍数特征，以及质数和合数的概念．
14．（2020春•隆回县期末）7和6的最小公倍数是 42 ，8和32的最大公因数是 8 ．
【思路分析】当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积，7×8＝42．先把8和32分解质因数，然后用两个数的公有的质因数相乘得它们的最大公因数．
【规范解答】解：7和16是互质数，最小公倍数是6×7＝42．
8＝2×2×2
32＝2×2×2×2×2
8和32的最大公因数是2×2×2＝8．
故答案为：42，8．
【名师点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；当两个数成倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．
15．（2020•蓬溪县）一个三位数能同时被2，3整除，这个数最小是 102 ．
【思路分析】能同时被2和3整除的数，个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数，这个三位数最小是102．
【规范解答】解：1+2＝3
所以一个三位数，能同时被2和3整除，这个数最小是102．
故答案为：102．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握能同时被2和3整除的数的特征．
16．（2020•交城县）A＝2×3×6，B＝3×3×6，那么A和B的最大公约数是 18 ，最小公倍数是 108 ．
【思路分析】这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【规范解答】解：A＝2×3×6，B＝3×3×6
A和B公有的质因数是：3和6，A独有的质因数是2，B独有的质因数是3，
那么A和B的最大公因数是：3×6＝18，
A和B的最小公倍数是：2×3×3×6＝108．
故答案为：18 108．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
17．（2020春•盐城期中）两个不同的非0自然数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数． √ （判断对错）
【思路分析】两个数的最小公倍数，是其中任何一个数的倍数，最大公因数能整除这两个数中的任何一个数，所以两个数的最小公倍数，是这两个数的最大公因数的倍数；由此判断即可．
【规范解答】解：因为两个数的最小公倍数，是其中任何一个数的倍数，最大公因数能整除这两个数中的任何一个数，所以两个数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数．
原题说法正确．
故答案为：√．
【名师点评】此题应根据几个数的最大公因数和最小公倍数的之间的关系进行解答．
18．（2020春•綦江区期末）因为32÷4＝8，所以32是倍数，4和8都是因数． × （判断对错）
【思路分析】因为32÷4＝8，所以说4和8都是32的因数，32是4和8的倍数；不能说成4和8都是因数，32是倍数；约数和倍数是相互依存的，是两个数之间的关系．
【规范解答】解：因为32÷4＝8 只能说4和8都是32的因数，32是4、8的倍数，所以本题说法错误；
故答案为：×．
【名师点评】此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系．
19．（2020春•复兴区期末）如果两个数互质，它们乘积就是它们的最小公倍数． √ （判断对错）
【思路分析】根据求两个数的最小公倍数的方法，如果两个数是倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数互质，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积．如果两个数的一般关系，先把这两个数，分解质因数，共有质因数和各自独有质因数的连乘积就是两个数的最小公倍数．据此判断．
【规范解答】解：如果两个数互质，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积．
因此，如果两个数互质，它们乘积就是它们的最小公倍数．这种说法是正确的．
故答案为：√．
【名师点评】此题考查的目的的是理解掌握求两个数的最小公倍数的方法及应用．
20．（2019秋•迎江区期末）两个非零自然数的乘积一定是这两个数的最小公倍数． × （判断对错）
【思路分析】例如6和9这两个非0的自然数，它们的积是6×9＝54，54是它们的公倍数，是6的9倍，是9的6倍，但不是它们的最小公倍数，它们的最小公倍数是18；即可判断．
【规范解答】解：两个非0的自然数1和2、2和3它们的积是它们的最小公倍数；
6和9…，它们的积不是它们的最小公倍数；
所以两个非零自然数的积，一定是这两个数的最小公倍数，此句话是错误的．
故答案为：×．
【名师点评】采用特殊值法，可以解决此类问题．
21．（2019秋•顺庆区期末）在3×8＝24中，3、8、24这三个数都是因数． × （判断对错）
【思路分析】因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在；由此判断即可．
【规范解答】解：因为3×8＝24，则：24÷3＝8，24是3的倍数，3是24的因数，因数和倍数是相对的，
是相互依存的，不能单独存在；
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确倍数和因数是相对的，一个不能独立存在．
22．（2020春•洪泽区校级期中）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
5和30
10和9
26和39
24和32
【思路分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【规范解答】解：30＝5×6，
所以5是5和30的最大公因数，30是5和30的最小公倍数；
10和9互质，所以10和9的最大公因数是1，最小公倍数是10×9＝90；
26＝13×2，39＝13×3，
所以26和39的最大公因数是13，最小公倍数是13×2×3＝78；
24＝2×2×2×3，32＝2×2×2×2×2，
所以24和32的最大公因数是2×2×2＝8，最小公倍数是2×2×2×2×2×3＝96．
【名师点评】两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是他们的积；一个数是另一个的倍数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数．
23．（2020春•路南区期末）五一班全班的学生人数在40人以内，这个班的总人数恰好既是6的倍数又是9的倍数，五一班最多有学生多少人？
【思路分析】由已知条件可知，这个班的学生人数必须是6和9的公倍数，又要符合人数在40人以内，那就先求出6和9的最小公倍数，然后再扩大几倍，求出五一班最多有学生多少人即可．
【规范解答】解：因为6＝2×3，9＝3×3
所以6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18
18×2＝36（人）
18×3＝54（人），不符合要求；
答：五一班最多有学生36人．
【名师点评】此题主要考查公倍数的意义以及求两个数最小公倍数的方法．
24．（2019秋•蓝山县期末）同学们去永州市柳子街进行研学旅行，男同学有24人，女同学有20人，现在把男、女同学都平均分成若干学习小组，且每个小组的人数相等，每组最多有多少人？此时男、女分别有几个学习小组？
【思路分析】要求每组最多有多少人，也就是求24和20的最大公因数是多少，先把24和20分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．用人数除以最大公因数，就是可以分成的组数．据此解答．
【规范解答】解：24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
24和20的最大公因数是2×2＝4，所以每组最多4人．
24÷4＝6（个）
20÷4＝5（个）
答：每组最多有4人，男同学有6个小组，女同学有5个小组．
【名师点评】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公因数，进而进行解答．
25．（2020春•唐县期末）给一个长32分米，宽24分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米，至少需要几块？
【思路分析】先求出32和24的最大公因数，即为正方形地砖的边长；据此分别求出房间的长边、宽边含有的正方形地砖的块数，再把两个数相乘即可求出可以需要的正方形地砖的块数．
【规范解答】解：32＝2×2×2×2×2，24＝2×2×2×3，
所以32和24的最大公因数是2×2×2＝8，即正方形地砖的边长是8分米；
（32÷8）×（24÷8）
＝4×3
＝12（块）
答：选择的地砖边长最大是8分米，至少需要12块．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数．
26．（2020春•高邑县期中）某班同学做广播体操，每12人站一行，或者每16人站一行，都正好余3人，这个班人数不到100人，这个班有多少人？
【思路分析】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到100人，所以也就是求比12和16的公倍数多3的数，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．
【规范解答】解：12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2＝48
48+3＝51（人）
48×2+3＝99（人），不符合实际情况；
答：这个班有51人．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
27．请你涂色．
【思路分析】个位上是0或5的数就是5的倍数；各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可．
【规范解答】解：
【名师点评】本题主要考查3、5的倍数特征，注意牢固掌握3、5的倍数特征，灵活运用．
28．你会在圈内添上合适的数吗？
【思路分析】根据找一个数的因数的方法和倍数的方法，进行例举即可．
【规范解答】解：：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数、倍数的方法，
29．图中“”表示3是36的因数，用“”表示下面图中各数之间的关系．
【思路分析】根据题意可知：3是36的因数，3是18的因数，3是6的因数，6是18的因数，6是36的因数，18是36的因数；进而用箭头画出即可．
【规范解答】解：如图，
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义．
30．乘坐游船每人应付4元，规定大船最多坐6人，小船最多坐4人．大船和小船无论是否坐满，所收游船费都会是4的倍数吗？全天所收游船费是4的倍数吗？
【思路分析】（1）乘坐游船每人应付4元，游船费＝人数×4．大船小船无论是否坐满，所收游船费都会是4的倍数．
（2）全天所收游船费＝全天乘船人数×4．所以大船和小船无论是否坐满，全天所收游船费是4的倍数．
【规范解答】解：（1）因为乘坐游船每人都付4元，游船费＝人数×4，所以大船和小船无论是否坐满，所收游船费都是4的倍数．
（2）全天所收游船费＝全天乘船人数×4，所以全天所收游船费也是4的倍数．
答：大船和小船无论是否坐满，所收游船费都会是4的倍数．全天所收游船费也是4的倍数．
【名师点评】这道题目解题的关键是明确因数和倍数的意义．
31．（2020春•禅城区期末）小红花每6天浇一次水，兰花第8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少多少天后给这两种花同时浇水？
【思路分析】此题属于最小公倍数问题，花匠今天给两种花同时浇了水，求至少多少天后给这两种花同时浇水．也就是求6和8的最小公倍数．由此解答．
【规范解答】解：先把6和8分解质因数，
6＝2×3，
8＝2×2×2，
6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24；
答：至少24天后给这两种花同时浇水．
【名师点评】此题属于求两个数的最小公倍数问题，求两个数的最小公倍数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数和独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数．由此解决问题．
32．（2019春•荥阳市期末）我们知道5有2个因数1和5，6有4个因数1，2，3，6；5和6的因数个数都是偶数．请你找出几个因数个数是奇数，你能发现什么？
【思路分析】一个数的因数是成对出现的，要想因数个数是奇数个，就需有两个相同的因数，可举4和9，分析可得平方数的因数有奇数个．
【规范解答】解：4的因数有1，2，4，3个
9的因数有1，3，9，3个，
可得出平方数的因数有奇数个．
【名师点评】本题考查了找一个数的因数的方法，关键是分析出平方数的因数有奇数个．
33．（2019•岳阳模拟）一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯．现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏．为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的．不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答）
【思路分析】根据题意，不需要重新安装的是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔18米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可．
【规范解答】解：如图所示：
9与6的最小公倍数是18；
72÷18+1，
＝4+1，
＝5（盏）．
答：不需要重新安装的路灯至少有5盏．
【名师点评】本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端栽树的方法进行计算即可．
34．（2019春•梁子湖区期末）一张长75厘米、宽60厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，边长为整厘米，且没有剩余，裁成的正方形边长最大是多少？至少可以裁成多少个这样的正方形？
【思路分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求75和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【规范解答】解：75和60的最大公因数是15，；
75×60÷（15×15）
＝4500÷225
＝20（个）；
答：裁成的正方形边长最大是15厘米，至少可以裁成20个这样的正方形．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
35．（2019春•潮安区月考）服装店有很多不同款式的衣服，其价格既都是2的倍数，又都是3和5的倍数．
（1）这些衣服中的最低价格是多少元？
（2）如果衣服的价格不超过100元，有哪几种价格？
【思路分析】5的倍数的特点是：个位上的数是0或5；
3的倍数的特点是：各个数位上的数字之和能被3整除即可；
2的倍数的特点是：个位上的数是0、2、4、6、8的数．
同时是2、5的倍数，那么这个数的个位上是0；要使这个数是3的倍数，那么剩下的两个数的和是3的倍数，其中因为3+0＝3，这些衣服中的最低价格是30；在100以内找出30的倍数，据此解答即可．
【规范解答】解：
（1）根据2、3、5的倍数的特征可得：30
所以这些衣服中的最低价格是30．
（2）因为30的倍数小于100的有：30，60，90．
所以如果衣服的价格不超过100元，价格有：30元，60元，90元．
【名师点评】本题主要考查了2、3、5倍数的特征，同时是三个数的倍数要同时满足三个特征．
一、知识梳理
知识点一：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法
1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4 ， 5······
2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。
3. 2、5的倍数的特征与奇偶数
（1）5的倍数个位上是0或5。
（2）2的倍数个位上是0、2、4、6、8。
（3）既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0；
（4）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。
4. 3的倍数的特征
3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。
知识点二：找因数和质数
1.找一个数的全部因数的方法：
（1）找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找；
（2）最小因数都是1；
（3）最大因数是自己；
2. 找质数的方法：
（1）质数的因数只有1和它本身；
（2）合数除1和它本身以外还有别的因数；
（3）除0和2以外，所有的偶数都是合数。
二、精练精讲
倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法
【例1】在2，6，15，21，40，56，72，84这些数中， 6、15、21、72、84 是3的倍数， 40、56、72、84 是4的倍数．
【思路分析】首先根据找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，判断出在2，6，15，21，40，56，72，84这些数中，3、4的倍数各有哪些．
【规范解答】解：在2，6，15，21，40，56，72，84这些数中，6、15、21、72、84是3的倍数，40、56、72、84是4的倍数．
故答案为：6、15、21、72、84，40、56、72、84．
【名师点评】此题主要考查了找一个数的倍数的方法，要熟练掌握．
1．根据算式“63÷7＝9”，我知道： 63 是7和9的倍数， 7 和 9 是63的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：根据算式“63÷7＝9”，我知道：63是7和9的倍数，7和9是63的因数．
故答案为：63，7，9．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
2．根据算式“5×6＝30”，我知道：30是 5 和 6 的倍数；5和 6 是30的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：根据算式“5×6＝30”，则30÷5＝6，我知道：30是5和6的倍数；5和6是30的因数．
故答案为：5，6，6．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
3．（2020春•隆回县期末）在3×7＝21中， 21 是3的倍数， 3 和 7 都是21的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：在3×7＝21中，21是3的倍数，3和7都是21的因数．
故答案为：21，3、7．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
找因数和质数的方法
【例2】找一找．
1、42、2、36、3、18、4、48、6、9、10、12、20、24、30、90、5、60、54、15
6的倍数： 42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54 ．
60的因数： 1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15 ．
既是6的倍数，又是60的因数： 6，12，30，60 ．
【思路分析】根据因数、倍数的意义可知：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数．两个数公有的因数就是这两个数的公因数．据此解答．
【规范解答】解：在1、42、2、36、3、18、4、48、6、9、10、12、20、24、30、90、5、60、54、15中，
6的倍数有：42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54．
60的因数有：1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15．
既是6的倍数，又是60的因数的数有：6，12，30，60．
故答案为：42，36，18，48，6，12，24，30，90，60，54；1，2，3，6，10，12，20，30，5，60，15；6，12，30，60．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，掌握求一个数的因数的方法、求一个数的倍数的方法及用．
1．用18个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填．
长
18
宽
1
18的全部因数： 1，2，3，6，9，18 ．
【思路分析】根据长方形的面积＝长×宽，因为18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有3种拼法．一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．据此解答．
【规范解答】解：因为18＝18×1＝9×2＝6×3，所以有3种拼法．
用18个相同的小正方形拼成一个大长方形，有几种拼法？填一填．
长
18
9
6
宽
1
2
3
18的因数有：1，2，3，6，9，18．
故答案为：1，2，3，6，9，18．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法及应用．
2．（2019秋•惠城区校级期末）16的最大因数是 16 ，最小倍数是 16 ．16和24的最小公倍数是 48 ．
【思路分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；由此可知：16的最大因数是 16，最小倍数是 16；
然后根据求两个数的最小公倍数的方法：求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有的因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答即可．
【规范解答】解：16的最大因数是 16，最小倍数是 16．
16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3，所以16和24的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48；
故答案为：16，16，48．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，以及求两个的数的公倍数的方法及应用．
3．（2020春•雁塔区期末）在横线上填上不同的质数．
21＝ 3 + 5 + 13
50＝ 3 × 7 + 29
【思路分析】根据质数的定义：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）；所以21＝3+7+11；50＝3×7+29．
【规范解答】解：根据质数的定义，则21＝3+5+13；50＝3×7+29．
故答案为：2，7，11，3，7，29．
【名师点评】本题主要考查了质数的定义．
三、巩固提升
1．两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的（ ）
A．公倍数 B．最小公倍数 C．公约数 D．最大公约数
【思路分析】根据因数和倍数的意义，以及研究因数和倍数时，为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）．由此解决问题．
【规范解答】解：两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的公倍数．
故选：A．
【名师点评】此题主要考查因数和倍数、公倍数和最小公倍数、公约数和最大公约数的意义．
2．（2020春•隆回县期末）如果a÷b＝12（a，b为整数），那么（ ）
A．a一定是b的倍数 B．a可能是b的倍数
C．b一定是a的倍数
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【规范解答】解：如果a÷b＝12（a，b为整数），那么a一定是b的倍数；
故选：A．
【名师点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
3．（2020春•顺义区期末）用2、3、4这三张数字卡片任意摆出一个三位数，这个三位数一定是（ ）的倍数．
A．2 B．3 C．5 D．6
【思路分析】根据能被2、3、5整除数的特征可知；能被2整除的数个位上要首先满足是0、2、4、6、8，然后分析能被3整除的数的特征，即求出各个数位上的和，分析是不是3的倍数，能被5整除的数个位上是0和5，据此分析由2、3、4组成的所有三位数是否满足即可．
【规范解答】解：因为3+4+2＝9，
9是3的倍数，
所以2，3，4这三张数字卡片任意摆出一个三位数，这个三位数一定是3的倍数．
故选：B．
【名师点评】解答此题的关键是：根据能被3整除的数的特征，进行解答．
4．（2020春•蕲春县期末）已知a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，a和b的最大公因数和最小公倍数分别是（ ）
A．6，210 B．30，210 C．30，420 D．15，420
【思路分析】（1）根据两个数的最大公约数等于这两个数的公有质因数的连乘积，可求出a与b的最大公约数；
（2）根据两个数的最小公倍数等于这两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积，可求出a与b的最小公倍数．
【规范解答】解：因为a＝2×2×3×5，b＝2×3×5×7，
所以a与b的最大公因数为：2×3×5＝30；
a与b的最小公倍数为：2×3×5×2×7＝420．
故选：C．
【名师点评】此题考查的目的是要求学生掌握求两个数最大公约数与最小公倍数的方法．
5．（2020•长春）6是（ ）的最大公因数．
A．2和3 B．3和6 C．12和13 D．18和24
【思路分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1；据此解答判断．
【规范解答】解：A、2和3互质，它们的最大公因数是1；
B、3和6是倍数关系，它们的最大公因数是3；
C、12和13互质，它们的最大公因数是1；
D、18＝18＝2×3×3，24＝2×2×2×3，所以18和24的最大公因数是2×3＝6；
故选：D．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：当两个数为互质数时，这两个数的最大公因数是1；当两个数成倍数关系时，较小的那个数，是这两个数的最大公因数；对于一般的两个数，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数．
6．（2020•扶风县）自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（ ）
A．a B．b C．10 D．无法确定
【思路分析】由自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系，b是较小数，根据倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，据此解答然后选择．
【规范解答】解：自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是：b；
故选：B．
【名师点评】解答本题关键是理解：自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系．
7．（2020•惠安县）下列（ ）组数的公因数是1、2、7和14．
A．1，14 B．14，21 C．24，56 D．28，42
【思路分析】分别求出每组的的公因数，即可得出结论．
【规范解答】解：A、1和14 的公因数是1；
B、14和21 的公因数是1、7；
C、24和56 的公因数是1、2、4、8；
D、28和42 的公因数是1、2、7、14；
故选：D．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的公因数的方法．
8．（2020•嘉兴）用0、4、5这三个数字，可以组成不同的三位数．在这些三位数中，（ ）最多．
A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．10的倍数
【思路分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；先求出用0、4、5这三个数字，可以组成不同的三位数，然后进行比较即可．
【规范解答】解：用0、4、5组成的三位数有：405、450、504、540．
因为0+4+5＝9，9是3的倍数，所以组成的这些三位数都是3的倍数，其中450、504、540是2的倍数；405、450、540是5的倍数．
所以在这些三位数中，3的倍数最多．
故选：B．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．
9．（2020春•芦溪县期末）要使64□能被3整除，同时又有因数2，□最小可填 2 ．
【思路分析】根据能被2、3整除的数的特征可知：该数的个位数是偶数，该数各个数位上数的和能被3整除；进而解答即可．
【规范解答】解：根据能被2整除的数的特征可知：该数的个位是0，2，4，6，8．又因为该数能被3整除，所以该数个位上可以取2，8．题目中由强调了□里取符合题意的最小值．
故答案为：2．
【名师点评】此题考查了能被2、3整除的数的特征：即能被2整除的数的特征：该数的个位是偶数；能被3整除的数的特征：该数各个数位上数的和能被3整除．
10．（2010•西藏）甲数＝2×3×7，乙数＝2×5×7，则甲数和乙数的最大公约数是 14 ，最小公倍数是 210 ．
【思路分析】求两数的最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积；最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积．
【规范解答】解：因为甲数＝2×3×7，乙数＝2×5×7，
则甲数和乙数的最大公约数是2×7＝14，最小公倍数是2×7×3×5＝210．
故答案为：14，210．
【名师点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
11．（2010春•遂溪县校级期中）一些数是42的因数，又是7的倍数，这样的数一共有 4 个．
【思路分析】先根据找一个数的因数的方法找出42的因数，再根据求一个数倍数的方法找出7的倍数，再找到共同的数即可．
【规范解答】解：42的因数：1、2、3、6、7、14、21、42，
7的倍数：7、14、21、28、35、42…，
即是42的因数，又是7的倍数的数：7、14、21、42，共4个；
故答案为：4．
【名师点评】此题主要考查求一个数的约数和倍数的方法，关键根据题意找出符合条件的数．
12．（2009秋•旅顺口区期末）24和16的公因数有 4 个，最大公因数是 8 ．
【思路分析】根据公因数的意义：两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数．据此解答．
【规范解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
16的因数有：1、2、4、8、16；
所以24和16的公因数有：1、2、4、8；一共4个，最大公因数是8．
故答案为：4个，8．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的公因数、最大公因数的方法．
13．（2020春•武川县期末）在2、9、23、39、110、111中， 2，110 能被2整除，3的倍数有 9，39，111 ，质数有 2，23 ，合数有 9，39，110，111 ．
【思路分析】能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，除了1和它本身没有别的因数的数是质数，还有别的因数的数是合数，据此填空．
【规范解答】解：（1）2，110个位上分别是2和0，所以这两个数能被2整除．
（2）9，39，111这三个数各个数位上的数字相加的和能被3整除，所以这三个数是3的倍数．
（3）2的因数有：1.2.23的因数有：1，23．所以2，23是质数．
（4）9的因数有：1，3，9.39的因数有：1.3，13，39.110的因数有：1，2，11，55，110.111的因数有：1，3，37，111．
故答案为：2，110；9，39，111；2，23；9，39，110，111．
【名师点评】这道题目解题的关键是熟练掌握2，3，5的倍数特征，以及质数和合数的概念．
14．（2020春•隆回县期末）7和6的最小公倍数是 42 ，8和32的最大公因数是 8 ．
【思路分析】当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积，7×8＝42．先把8和32分解质因数，然后用两个数的公有的质因数相乘得它们的最大公因数．
【规范解答】解：7和16是互质数，最小公倍数是6×7＝42．
8＝2×2×2
32＝2×2×2×2×2
8和32的最大公因数是2×2×2＝8．
故答案为：42，8．
【名师点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；当两个数成倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．
15．（2020•蓬溪县）一个三位数能同时被2，3整除，这个数最小是 102 ．
【思路分析】能同时被2和3整除的数，个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数，这个三位数最小是102．
【规范解答】解：1+2＝3
所以一个三位数，能同时被2和3整除，这个数最小是102．
故答案为：102．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握能同时被2和3整除的数的特征．
16．（2020•交城县）A＝2×3×6，B＝3×3×6，那么A和B的最大公约数是 18 ，最小公倍数是 108 ．
【思路分析】这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【规范解答】解：A＝2×3×6，B＝3×3×6
A和B公有的质因数是：3和6，A独有的质因数是2，B独有的质因数是3，
那么A和B的最大公因数是：3×6＝18，
A和B的最小公倍数是：2×3×3×6＝108．
故答案为：18 108．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
17．（2020春•盐城期中）两个不同的非0自然数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数． √ （判断对错）
【思路分析】两个数的最小公倍数，是其中任何一个数的倍数，最大公因数能整除这两个数中的任何一个数，所以两个数的最小公倍数，是这两个数的最大公因数的倍数；由此判断即可．
【规范解答】解：因为两个数的最小公倍数，是其中任何一个数的倍数，最大公因数能整除这两个数中的任何一个数，所以两个数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数．
原题说法正确．
故答案为：√．
【名师点评】此题应根据几个数的最大公因数和最小公倍数的之间的关系进行解答．
18．（2020春•綦江区期末）因为32÷4＝8，所以32是倍数，4和8都是因数． × （判断对错）
【思路分析】因为32÷4＝8，所以说4和8都是32的因数，32是4和8的倍数；不能说成4和8都是因数，32是倍数；约数和倍数是相互依存的，是两个数之间的关系．
【规范解答】解：因为32÷4＝8 只能说4和8都是32的因数，32是4、8的倍数，所以本题说法错误；
故答案为：×．
【名师点评】此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系．
19．（2020春•复兴区期末）如果两个数互质，它们乘积就是它们的最小公倍数． √ （判断对错）
【思路分析】根据求两个数的最小公倍数的方法，如果两个数是倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数互质，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积．如果两个数的一般关系，先把这两个数，分解质因数，共有质因数和各自独有质因数的连乘积就是两个数的最小公倍数．据此判断．
【规范解答】解：如果两个数互质，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积．
因此，如果两个数互质，它们乘积就是它们的最小公倍数．这种说法是正确的．
故答案为：√．
【名师点评】此题考查的目的的是理解掌握求两个数的最小公倍数的方法及应用．
20．（2019秋•迎江区期末）两个非零自然数的乘积一定是这两个数的最小公倍数． × （判断对错）
【思路分析】例如6和9这两个非0的自然数，它们的积是6×9＝54，54是它们的公倍数，是6的9倍，是9的6倍，但不是它们的最小公倍数，它们的最小公倍数是18；即可判断．
【规范解答】解：两个非0的自然数1和2、2和3它们的积是它们的最小公倍数；
6和9…，它们的积不是它们的最小公倍数；
所以两个非零自然数的积，一定是这两个数的最小公倍数，此句话是错误的．
故答案为：×．
【名师点评】采用特殊值法，可以解决此类问题．
21．（2019秋•顺庆区期末）在3×8＝24中，3、8、24这三个数都是因数． × （判断对错）
【思路分析】因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在；由此判断即可．
【规范解答】解：因为3×8＝24，则：24÷3＝8，24是3的倍数，3是24的因数，因数和倍数是相对的，
是相互依存的，不能单独存在；
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确倍数和因数是相对的，一个不能独立存在．
22．（2020春•洪泽区校级期中）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数．
5和30
10和9
26和39
24和32
【思路分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【规范解答】解：30＝5×6，
所以5是5和30的最大公因数，30是5和30的最小公倍数；
10和9互质，所以10和9的最大公因数是1，最小公倍数是10×9＝90；
26＝13×2，39＝13×3，
所以26和39的最大公因数是13，最小公倍数是13×2×3＝78；
24＝2×2×2×3，32＝2×2×2×2×2，
所以24和32的最大公因数是2×2×2＝8，最小公倍数是2×2×2×2×2×3＝96．
【名师点评】两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是他们的积；一个数是另一个的倍数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数．
23．（2020春•路南区期末）五一班全班的学生人数在40人以内，这个班的总人数恰好既是6的倍数又是9的倍数，五一班最多有学生多少人？
【思路分析】由已知条件可知，这个班的学生人数必须是6和9的公倍数，又要符合人数在40人以内，那就先求出6和9的最小公倍数，然后再扩大几倍，求出五一班最多有学生多少人即可．
【规范解答】解：因为6＝2×3，9＝3×3
所以6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18
18×2＝36（人）
18×3＝54（人），不符合要求；
答：五一班最多有学生36人．
【名师点评】此题主要考查公倍数的意义以及求两个数最小公倍数的方法．
24．（2019秋•蓝山县期末）同学们去永州市柳子街进行研学旅行，男同学有24人，女同学有20人，现在把男、女同学都平均分成若干学习小组，且每个小组的人数相等，每组最多有多少人？此时男、女分别有几个学习小组？
【思路分析】要求每组最多有多少人，也就是求24和20的最大公因数是多少，先把24和20分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．用人数除以最大公因数，就是可以分成的组数．据此解答．
【规范解答】解：24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
24和20的最大公因数是2×2＝4，所以每组最多4人．
24÷4＝6（个）
20÷4＝5（个）
答：每组最多有4人，男同学有6个小组，女同学有5个小组．
【名师点评】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公因数，进而进行解答．
25．（2020春•唐县期末）给一个长32分米，宽24分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米，至少需要几块？
【思路分析】先求出32和24的最大公因数，即为正方形地砖的边长；据此分别求出房间的长边、宽边含有的正方形地砖的块数，再把两个数相乘即可求出可以需要的正方形地砖的块数．
【规范解答】解：32＝2×2×2×2×2，24＝2×2×2×3，
所以32和24的最大公因数是2×2×2＝8，即正方形地砖的边长是8分米；
（32÷8）×（24÷8）
＝4×3
＝12（块）
答：选择的地砖边长最大是8分米，至少需要12块．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数．
26．（2020春•高邑县期中）某班同学做广播体操，每12人站一行，或者每16人站一行，都正好余3人，这个班人数不到100人，这个班有多少人？
【思路分析】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到100人，所以也就是求比12和16的公倍数多3的数，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．
【规范解答】解：12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2＝48
48+3＝51（人）
48×2+3＝99（人），不符合实际情况；
答：这个班有51人．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
27．请你涂色．
【思路分析】个位上是0或5的数就是5的倍数；各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可．
【规范解答】解：
【名师点评】本题主要考查3、5的倍数特征，注意牢固掌握3、5的倍数特征，灵活运用．
28．你会在圈内添上合适的数吗？
【思路分析】根据找一个数的因数的方法和倍数的方法，进行例举即可．
【规范解答】解：：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数、倍数的方法，
29．图中“”表示3是36的因数，用“”表示下面图中各数之间的关系．
【思路分析】根据题意可知：3是36的因数，3是18的因数，3是6的因数，6是18的因数，6是36的因数，18是36的因数；进而用箭头画出即可．
【规范解答】解：如图，
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义．
30．乘坐游船每人应付4元，规定大船最多坐6人，小船最多坐4人．大船和小船无论是否坐满，所收游船费都会是4的倍数吗？全天所收游船费是4的倍数吗？
【思路分析】（1）乘坐游船每人应付4元，游船费＝人数×4．大船小船无论是否坐满，所收游船费都会是4的倍数．
（2）全天所收游船费＝全天乘船人数×4．所以大船和小船无论是否坐满，全天所收游船费是4的倍数．
【规范解答】解：（1）因为乘坐游船每人都付4元，游船费＝人数×4，所以大船和小船无论是否坐满，所收游船费都是4的倍数．
（2）全天所收游船费＝全天乘船人数×4，所以全天所收游船费也是4的倍数．
答：大船和小船无论是否坐满，所收游船费都会是4的倍数．全天所收游船费也是4的倍数．
【名师点评】这道题目解题的关键是明确因数和倍数的意义．
31．（2020春•禅城区期末）小红花每6天浇一次水，兰花第8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少多少天后给这两种花同时浇水？
【思路分析】此题属于最小公倍数问题，花匠今天给两种花同时浇了水，求至少多少天后给这两种花同时浇水．也就是求6和8的最小公倍数．由此解答．
【规范解答】解：先把6和8分解质因数，
6＝2×3，
8＝2×2×2，
6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24；
答：至少24天后给这两种花同时浇水．
【名师点评】此题属于求两个数的最小公倍数问题，求两个数的最小公倍数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数和独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数．由此解决问题．
32．（2019春•荥阳市期末）我们知道5有2个因数1和5，6有4个因数1，2，3，6；5和6的因数个数都是偶数．请你找出几个因数个数是奇数，你能发现什么？
【思路分析】一个数的因数是成对出现的，要想因数个数是奇数个，就需有两个相同的因数，可举4和9，分析可得平方数的因数有奇数个．
【规范解答】解：4的因数有1，2，4，3个
9的因数有1，3，9，3个，
可得出平方数的因数有奇数个．
【名师点评】本题考查了找一个数的因数的方法，关键是分析出平方数的因数有奇数个．
33．（2019•岳阳模拟）一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯．现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏．为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的．不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答）
【思路分析】根据题意，不需要重新安装的是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔18米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可．
【规范解答】解：如图所示：
9与6的最小公倍数是18；
72÷18+1，
＝4+1，
＝5（盏）．
答：不需要重新安装的路灯至少有5盏．
【名师点评】本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端栽树的方法进行计算即可．
34．（2019春•梁子湖区期末）一张长75厘米、宽60厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，边长为整厘米，且没有剩余，裁成的正方形边长最大是多少？至少可以裁成多少个这样的正方形？
【思路分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求75和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积．由此解答即可．
【规范解答】解：75和60的最大公因数是15，；
75×60÷（15×15）
＝4500÷225
＝20（个）；
答：裁成的正方形边长最大是15厘米，至少可以裁成20个这样的正方形．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．
35．（2019春•潮安区月考）服装店有很多不同款式的衣服，其价格既都是2的倍数，又都是3和5的倍数．
（1）这些衣服中的最低价格是多少元？
（2）如果衣服的价格不超过100元，有哪几种价格？
【思路分析】5的倍数的特点是：个位上的数是0或5；
3的倍数的特点是：各个数位上的数字之和能被3整除即可；
2的倍数的特点是：个位上的数是0、2、4、6、8的数．
同时是2、5的倍数，那么这个数的个位上是0；要使这个数是3的倍数，那么剩下的两个数的和是3的倍数，其中因为3+0＝3，这些衣服中的最低价格是30；在100以内找出30的倍数，据此解答即可．
【规范解答】解：
（1）根据2、3、5的倍数的特征可得：30
所以这些衣服中的最低价格是30．
（2）因为30的倍数小于100的有：30，60，90．
所以如果衣服的价格不超过100元，价格有：30元，60元，90元．
【名师点评】本题主要考查了2、3、5倍数的特征，同时是三个数的倍数要同时满足三个特征．
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