高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时训练

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2.5.2 椭圆的几何性质——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练一、   概念练习1.椭圆的焦点坐标是(   )A.，  B.，C.，  D.，2.点在椭圆的内部，则a的取值范围是(   )A. B.C.  D.3.已知椭圆上有一点是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有(   )A.3个 B.4个 C.6个 D.8个4.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是(   )A.6 B.7 C.8 D.95.已知点是椭圆的左顶点,点B在椭圆C上,且为第三象限内的点,O为坐标原点,为等腰直角三角形,则椭圆C的短轴长为(   )A. B. C. D.二、能力提升6.已知椭圆，，分别为其左、右焦点，，B为短轴的一个端点，（O为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为(   )A.4 B.8 C. D.7.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为(   )A. B. C. D.8. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(   )A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，的最大值为C.存在点Q使得D.的最小值为19. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则(   )A.椭圆C的离心率为B.存在m，使为直角三角形C.存在m，使的周长最大D.当时，四边形FBEA的面积最大10. （多选）在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可以为(   )A. B. C. D.11.若椭圆的焦距等于4，则实数_________.12.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上的动点，当为直角时，点P的横坐标是_____________.13.椭圆的短轴长为8，则实数__________.14.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
 （1）求椭圆C的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.15.已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.(1)求椭圆E的标准方程.(2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.


 
答案以及解析1.答案：C解析：因为椭圆的方程为，所以，且焦点在y轴上，所以焦点坐标为，.2.答案：B解析：由题意，得，即，解得.3.答案：C解析：当为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点有2个；同理当为直角时,这样的点有2个；当点为椭圆的短轴端点时,最大,且为直角,此时这样的点有2个.故符合要求的点有6个.4.答案：C解析：设椭圆C的标准方程为.依题意得，，，又，，即，因此椭圆的短轴长是，故选C.5.答案：C解析：由题意可知,.根据椭圆的几何特征和为等腰直角三角形,得.又,所以,所以,即,解得.所以椭圆C的短轴长为.故选C.6.答案：B解析：由题意可知，，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故选B.7.答案：D解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.8.答案：BD解析：本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的最值问题、向量的数量积.由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以，对A，离心率，所以，故A错误；对B，当时，，，，故B正确；对C，假设点Q存在，因为当Q在短轴端点时，最大，所以此时，由A知，所以，故的最大值小于90°，所以不存在点Q使得，故C错误；对D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选BD.9.答案：BD解析：本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系.如图，对于A，由椭圆方程可得，，，则，椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，当时，可以得出，当时，得，根据椭圆的对称性可知存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，由椭圆的定义得，的周长，，，当AB过点E时取等号，，即直线过椭圆的右焦点E时，的周长最大，此时直线AB的方程为，但是，故不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，为定值2，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，则四边形FBEA面积最大，故D正确.故选BD.10.答案：BCD解析：由和，得，.由椭圆的几何性质，得，，所以可得离心率，故选BCD.11.答案：或解析：依题意应有或，解得或.12.答案：解析：由题意得，，所以，所以.设，令的坐标为，的坐标为，因为，所以在中，，即，化简得.又，所以，所以，解得.所以点P的横坐标为±.13.答案：16解析：因为椭圆的短轴长为8，所以椭圆的焦点在x轴上，所以，解得.14.答案：（1）；（2）是定值，.解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，①，又由，化简得②，①②两式联立解得：或（舍去），，，椭圆方程为；（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，，把直线代入椭圆得，由韦达定理得，，是定值.15.答案：(1)标准方程为.(2)存在，点.解析：(1)因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为-1.如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，则，所以，即，解得，则.故椭圆E的标准方程为.(2)由题意可得点O是线段AB的中点.又，所以.①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，由，得，则，即.由根与系数的关系可得，由可得，即，即，所以，故.假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，则，当时，为定值，即d为定值.②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得，所以，故，点到直线AC的距离为.综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.