高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.4 随机变量的数字特征同步练习题

4.2.4 随机变量的数字特征——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个.现从中随机取出小球，当有放回地依次取出2个小球时，记取出的红球数为；当无放回地依次取出2个小球时，记取出的红球数为，则(   )
A.,
B.,
C.,
D.,

2.若随机变量的分布列如下：

则的最大值为(   )

A.1 B. C. D.

3.某方盒中有5个除颜色外其余都相同的球(3个红球、2个白球)，现从盒中任取2个球，若球的颜色相同，则将2个球涂成白色并且放回盒中，否则将2个球涂成红色放回盒中.记X为方盒中最终的白球个数，则(   )

A.1 B. C.2 D.

4.已知随机变量的分布列如下：

则的最小值为(   )

A. B. C. D.

5.若随机变量的分布列如表所示，，则(   )

A.0.2 B.-0.2 C.0.8 D.-0.8

二、能力提升

6.已知在盒中有编号分别为1，2，3，4的红色、黄色、白色的球各4个，现从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的期望是(   )

A. B. C. D.

7.已知随机变量X的分布列如下表所示

则的值等于(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

8（多选）.若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(   )

A. B. C. D.

9. （多选）若随机变量，则(   )

A. B. C. D.

10. （多选）已知随机变量X的分布列为

则下列结论正确的是(   )

A. B.

C. D.

11.某工厂生产的120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，按照分层抽样的方法从中抽取容量为10的一个样本，若从样本中随机抽取2个进行质检，记X为抽到的一级品的个数，则___________.

12.甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲，乙进行6局比赛，设甲胜的局数为X，则_________.

13.已知离散型随机变量X的分布列为

若,则当取最小值时，方差___________.

14.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

15.第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名学生担任集体户户主进行人口普查登记.

（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训.

①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

答案以及解析

1.答案：B

解析：易知,故,.的取值范围为,,,故,,故,.故选B.

2.答案：C

解析：解法—：由题意得，

，则

，

故当时，取得最大值.故选C.

解法二：由题意得得.

令，则，则随机变量，

的分布列如下：

所以，，

则，

当且仅当时，取得最大值为.

所以的最大值为.故选C.

3.答案：C

解析：从5个球中任取2个球有种取法，由题意知X的所有可能取值为1，2，4，

，，，

故，故选C.

4.答案：A

解析：由题可知，，且，

所以，则.

令，则，

当且仅当，即时等号成立.

5.答案：B

解析：易知，由，得，又由，得，解得，，则.故选B.

6.答案：C

解析：设摸出的白球的个数为x，则，

所以；；

；；

.

所以摸出白球个数的期望是.

故选：C.

7.答案：A

解析：由题得，，

所以

所以.

故答案为A

8.答案：AB

解析：随机变量X服从两点分布，其中，，，.易知A正确，D错误；，故B正确；，故C错误.故选AB.

9.答案：AC

解析：本题考查二项分布的期望、方差以及概率.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选AC.

10.答案：AD

解析：,,故A正确，B错误.,,故C错误，D正确.

11.答案：

解析：按照分层抽样抽取一级品2个，二级品3个，三级品5个；X的可能取值有0，1，2，

，，，所以.故答案为：.

12.答案：

解析：由题意知：，所以，

所以每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，

由题意知：随机变量，

所以.

故答案为：.

13.答案：

解析：由题意可知,,.要使取得最小值，则,,.

14.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为.

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则

.

（2）由题意可知，3，4，5，

则，

，

，

，

故X的分布列为

.

15.答案：（1）男生、女生就分别抽取4人，3人

（2）①；②

解析：（1）由已知，住校生中男生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人.

（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则，且B与C互斥，

，，

故，

所以事件A发生的概率为.

②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望.