人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布当堂达标检测题

4.2.5 正态分布——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.已知随机变量且，则(   )

A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1

2.已知随机变量X服从正态分布，且，则(   )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

3.设随机变量，已知，则(   )

A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

4.已知随机变量X服从正态分布，且，，若，则约为(   )

A.15.7% B.13.55% C.27.1% D.15.85%

5.已知随机变量服从正态分布，且，则(   )
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6

二、能力提升

6.通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且，则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为(   )

A.50.3% B.68.3% C.99.7% D.97.7%

7.已知随机变量，若，，则(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

8. （多选）已知随机变量X服从正态分布,则下列结论正确的是(   )
(若随机变量Y服从正态分布,则,,)
A. B. C. D.

9. （多选）设随机变量，其中，则下列等式成立的有(   )

A.  B.

C. D.

10. （多选）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(   )

附：随机变量服从正态分布，则 .

A.学生数学成绩的期望为100

B.学生数学成绩的标准差为100

C.学生数学成绩及格率超过0.8

D.学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

11.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成责不低于90分的人数为______.

12.设随机变量服从标准正态分布，若，则_______.

13.已知两个随机变量满足，且，则_________,________.

14.在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组在某一个社区做了一个关于在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间的调查.如果这个社区共有成人10 000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国”的概率均为P(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率),并且每人是否打开进行学习是相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位：),得到下面的频数表,以样本中100名成人每天晚上的平均学习时长作为该社区每个人的学习时长.
 

(1)试估计P的值；
(2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数.
①求X的数学期望和方差；
②若随机变量Z满足,则可认为.假设当时,表示该社区处于最佳学习氛围,试由此估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长(结果保留整数).
附：若,则,.

15.某小区的物业公司为了改进工作，提高服务质量和水平，对小区内居民进行满意度调查，制订了详细的调查问卷和评分表，并随机抽出10名小区代表的评分作为样本进行分析，评分如下

（单位：分）.

79；80；85；85；90；93；95；96；97；100

（1）画出这10名代表的评分的茎叶图，并计算均值与方差；

（2）若参加本次调查的代表的评分近似服从正态分布，且每个代表的评分相互独立.该小区计划发放1000份调查问卷和评分表，每人只能填一份，试估算该小区这1000份调查问卷中评分不低于97分的有多少份.

参考数据：.

答案以及解析

1.答案：D

解析：由正态分布性质知，所以

.

2.答案：D

解析：∵随机变量X服从正态分布，
∴正态曲线关于直线对称，又，
，故选D.

3.答案：C

解析：本题考查服从标准正态分布的随机变量的概率计算.

，选C.

4.答案：B

解析：由题知,正态曲线关于直线对称，且,,因此.

5.答案：D

解析：随机变量服从正态分布,,.

6.答案：D

解析：由于,所以.故选D.

7.答案：C

解析：易知，根据正态曲线的对称性可知.故选C.

8.答案：ABC

解析：随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，
根据题意可得，，，
，故C正确；
,
故D错误.易知A,B都正确.故选ABC.

9.答案：AC

解析：∵随机变量X服从正态分布，
∴正态曲线关于直线对称，
∵，
∴根据正态曲线的对称性可得，所以A正确；
，所以B错误；
，所以C正确；
或，所以D错误.故选AC.

10.答案：AC

解析：数学成绩X服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；及格率，故C正确；不及格率，优秀率，故D错误.故选AC.

11.答案：80

解析：因为X近似服从正态分布，且,
所以，
所以估计该校数学成绩不低于90分的人数为.

12.答案：1

解析：由题意知正态曲线关于y轴对称，,,.

13.答案：2；

解析：由,得,.因为,所以,所以,

14.答案：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为,

而调查总时长为,故.

(2)①根据题意,.

故,

.

②.

当时,,

.

故.

,即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为.

15.答案：（1）茎叶图如图所示，

均值，
方差

.
（2）由（1）知，
所以，
所以每个代表评分不低于97分的事件的概率，
记1000份调查问卷中评分不低于97分的份数为，则，
所以恰好有k份的评分不低于97分的事件概率

所以
即，
所以即.
又，所以，
所以估算这100份调查问卷中评分不低于97分的有158份.