高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.1 一元线性回归模型同步测试题

4.3.1 一元线性回归模型——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.变量X与Y相对应的一组数据为；变量U与V相对应的一组数据为，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则(   )

A.  B.  C.  D.

2.设两个变量和之间具有线性相关关系,它们的相关系数为关于的回归直线方程为,则(   )

A.与的符号相同  B.与的符号相同 C.与的符号相反  D.与的符号相反

3.某种产品的广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表：
 

若已知y关于x的经验回归方程为，那么当广告支出为6万元时，随机误差的效应（残差）为_________万元（残差=观测值-预测值）(   )
A.17.5 B.-6.5 C.24.5 D.-56.5

4.变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3，2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U与V相对应的组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）. 为变量Y与X之间的样本相关系数，为变量U与V之间的样本相关系数，则(   )
A. B. C. D.

5.对于样本相关系数r，下列说法中正确的是(   )
A.r越大，线性相关程度越强
B.越小，线性相关程度越强
C.越大，线性相关程度越弱
D.，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱

二、能力提升

6.下列关于残差图的描述错误的是(   )

A.残差图的纵坐标只能是残差

B.残差图的横坐标可以是编号、解释变量和响应变量

C.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小

D.残差点分布的带状区域的宽度越窄决定系数越小

7.某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：

经检验，这组样本数据的两个变量x与y具有线性相关关系，那么对于加工零件个数x与加工时间y这两个变量，下列判断中正确的是(   )

A.负相关，其经验回归直线经过点

B.正相关，其经验回归直线经过点

C.负相关，其经验回归直线经过点

D.正相关，其经验回归直线经过点

8. （多选）已知由样本数据，n求得的经验回归方程为，且，现发现两个样本点（1.2,2.2）和（4.8,7.8）误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则(   )
A.变量x与y具有正相关关系
B.去除后的经验回归方程为
C.去除后y的估计值增加速度变快
D.去除后样本点（2,3.75）的残差为005

9. （多选）下列说法正确的是(   )
A.在回归分析中，可以借助散点图判断两个变量是否具有线性相关关系
B.在回归分析中，可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
C.在回归分析模型中，样本相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好
D.在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量增加0.1个单位

10. （多选）下列说法中正确的有(   )

A.在对分类变量X和Y进行独立性检验时，随机变量的值越大，则“X与Y有关”可信程度越小

B.在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y增加0.1个单位

C.两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

D.在回归分析模型中，若决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好

11.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示.（残差=观测值-预测值）

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中m的值为__________.

12.若对甲、乙、丙3组不同的成对数据作线性相关性检验，得到这3组成对数据的样本相关系数依次为0.83,0.72，-0.90，则线性相关程度最强的组是________(填“甲”“乙”或“丙”)

13.某工厂为研究某种产品产量(吨)与所需某种原材料(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据如表所示：(残差=真实值预测值)

根据表中数据,得出关于的线性回归方程为.据此计算出在样本点处的残差为,则表中的值为______________.

14.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

并计算得，，.

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数，.

15.某种产品的月广告宣传费用x和月销售额y的统计数据如下表：

（1）根据1至5月份的数据，已知变量y与x呈线性相关，求出回归方程；

（2）由线性回归方程得到的估计数据（结果保留整数）与实际数据的误差不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？

参考数据：，.

附：，.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由变量X与Y相对应的一组数据为，可得变量Y与X正相关，所以.

而由变量U与V相对应的一组数据为，可知变量V与U负相关，所以.因此与的大小关系是.

2.答案：A

解析：若样本相关系数r为正，则两个变量呈现正相关，经验回归直线呈上升趋势；若样本相关系数r为负，则两个变量呈现负相关，经验回归直线呈下降趋势，与的符号相同.故选A.

3.答案：B

解析：取，得, 当广告支出为6万元时，随机误差的效应（残差）为.故选B.

4.答案：B

解析：由变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）,（13,5），可得变量Y与X之间成正相关，因此；
由变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），可得变量U与V之间成负相关，因此.故.

5.答案：D

解析：对于选项A，越大，线性相关程度越强，A错误；
对于选项B,越小，线性相关程度越弱，B错误；
对于选项C,越大，线性相关程度越强，C错误；
对于选项D,，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，D正确.

故选D.

6.答案：D

解析：根据残差图的定义和图象即可得到结论.可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，则对应决定系数越大，故选项D错误.故选D.

7.答案：D

解析：由表中数据可得y随x的增大而增大，故y与x正相关.又

，所以样本点的中心为，而经验回归直线过样本点的中心，因此其经验回归直线经过点，故选D.

8.答案：AB

解析：，经验回归方程为，重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，变量x与y具有正相关关系，设新的数据的所有横坐标的平均值为，纵坐标的平均值为，则，，故，
.
故新的经验回归方程为，故A, B正确；
因为斜率为1.2不变，所以去除后y的估计值增长速度不变，C错误；
把代入新的经验回归方程中，得，故D错误.故选AB.

9.答案：ABD

解析：对于A，可以借助散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，所以正确；
对于B，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以正确；
对于C，样本相关系数的绝对值越大，只能说明两个变量具有较强的相关性，不能作为分析模型的拟合效果好坏的依据，应该是越大，模型的拟合效果越好，所以错误；
对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量增加0.1个单位，所以正确.
故选ABD.

10.答案：CD

解析：由题意得，根据的值越大，分类变量的有关联的可信度就越大，所以A是错误的；根据经验回归方程中回归系数的含义，可知在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y平均增加0.1个单位，B是错误的；根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的相关性就越强，所以C是正确的；根据回归分析的基本思想可知决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D是正确的.故选CD.

11.答案：4.5

解析：由在样本处的残差为,可得，则，解得.

由题表可知，，产量x的平均数为，

由经验回归方程为过点，

可得.则，

解得.

12.答案：丙

解析：样本相关系数越接近1，成对数据的线性相关程度就越强，结合题中所给的3组成对数据的样本相关系数知，-0.90的绝对值最接近1，所以丙组成对数据的线性相关程度最强.

13.答案：4.5

解析：由在样本点处的残差为,可得,则,解得,由题意可知,产量的平均数为,由线性回归方程过点,则,则,解得.

14.答案：（1）0.06，0.39

（2）0.97

（3）1209

解析：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量，
（2），
，
，
所以，
所以样本相关系数.
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y，
由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以，
所以，
即该林区这种树木的总材积量的估计值为1209.

15.答案：（1）

（2）所得的线性回归方程是可靠的

解析：（1）由数据统计表得

，，

则.

又，，

，

，

关于x的线性回归方程为.

（2）由（1）知线性回归方程为，得到五组估计数据如下表：

由上表可知，估计数据与实际数据的误差都不超过2万元，

所得的线性回归方程是可靠的.