高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念同步训练题

6.1.1 向量的概念——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.下列说法中错误的是(   )

A.零向量与任一向量平行

B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.零向量的长度为0

D.方向相反的两个非零向量必不相等

2.下列说法中正确的是(   )

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量，必有

D.若满足且与同向，则

3.若向量与不相等, 则与一定(   )

A.不共线  B.长度不相等

C.不可能都是单位向量 D.不可能都是零向量

4.汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是(   )

A.汽车的速度大于摩托车的速度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

5.下列说法正确的是(   )

A.若，则或

B.若a、b为相反向量，则

C.零向量是没有方向的向量

D.若a、b是两个单位向量，则

二、能力提升

6.给出下列三个命题：①若，则；

②若，则或；

③若，则.

其中正确的命题有(   )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

7.下列说法正确的个数是(   )

①两个有公共终点的向量是平行向量；

②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；

③若向量与不共线，则与都是非零向量；

④若，则.

A.1 B.2 C.3 D.4

8. （多选）下列说法错误的是(   )

A.有向线段与表示同一向量

B.两个有公共终点的向量是平行向量

C.零向量与单位向量是平行向量

D.单位向量都相等

9. （多选）下列说法中正确的是(   )
A.零向量与任一向量平行 B.方向相反的两个非零向量不一定共线 C.零向量的长度为0              D.方向相反的两个非零向量必不相等

10. （多选）下列叙述中错误的是(   )

A.若，则

B.若，则与的方向相同或相反

C.若，则

D.对任一向量是一个单位向量

11.给出下列说法：

①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是_______(填序号).

12.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

(1)与向量相等的向量有_________；
(2)若,则___________.

13.如图所示，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中画出了若干个向量，则

（1）与向量相等的向量有_________;
（2）与向量共线，且模相等的向量有___________;

（3）与向量共线，且模相等的向量有________.

14.如图所示，在四边形ABCD中，，N，M分别是AD，BC上的点，且.求证: .

15.如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形.

(1)找出与相等的向量.

(2)找出与共线的向量.

答案以及解析

1.答案：B

解析：零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0，故A与C都是对的；

设方向相反的两个非零向量为和，满足，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；

对于D，因为向量相等的定义：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.故选B.

2.答案：C

解析：对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B，平行向量就是共线向量，故错误；

对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.

综上可知对于任意向量，必有，故正确；

对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选C.

3.答案：D

解析：因为所有的零向量都是相等的向量，故选D.

4.答案：C

解析：由向量不能比较大小，可知选C.

5.答案：B

解析：若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错；若a、b为相反向量，则它们的和为零向量，B对；零向量的方向是任意的，C错；两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错.故选B.

6.答案：A

解析：①忽略了0与的区别，；

②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；

③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等.

7.答案：B

解析：有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；

两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；

向量与不共线，则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故③正确；

，则的长度相等且方向相同；，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，④正确.

8.答案：ABD

解析：向量与方向相反，不是同一向量；

有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；

单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A，B，D错误.

零向量与任何向量都是平行向量，故C正确.

9.答案：ACD

解析：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确.故选ACD.

10.答案：ABCD

解析：向量不能比较大小，故A错误；

由于零向量与任一 向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C，若为零向量，与可能不是共线向量，故C错误；

对于D，当时，无意义，故D错误.

11.答案：②③④

解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；

由零向量的定义知②正确；

由单位向量的模是1，知④正确.

12.答案：(1)
(2)6
解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,可知与向量相等的向量有.
(2)因为 ,所以.

13.答案：（1）；（2）；（3）K

解析：(1)与向量相等的向量有；(2)与向量共线，且模相等的向量有；(3)与向量共线，且模相等的向量有.

14.答案：证明过程见解析.

解析：因为，所以，且，所以四边形ABCD是平行四边

形.

所以，且.

又因为与的方向相同，

所以.

同理可证四边形CNAM是平行四边形，

所以.

因为，

所以，

即与的模相等且方向相同，所以.

15.答案：(1).

(2).

解析：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，

与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为.

(2)由题干图可知，与方向相同，与方向相反，所以与共线的向量有.