数学必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像精练

4.1.2 指数函数的性质与图象——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.设函数，若，则m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是(   )

A. B. C. D.

3.已知函数（且），，则(   )

A.4 B. C. D.

4.函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

5.函数的图像是(   )

A. B.

C.  D.

二、能力提升

6.已知，，，则的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

7.设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8. （多选）已知函数，，则m、n的取值可能为(   )

A.， B.， C.， D.，

9. （多选）高斯是德国著名的数学家.近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字自名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，，则下列叙述中错误的是（    ）

A.为减函数  B.为奇函数

C.为偶函数  D.的值域是

10. （多选）设,,,则大小关系判断正确的是(   )

A. B. C. D.

11.函数在上的最大值与最小值的和为3，则______.

12.已知函数是指数函数，则实数a的值为________.

13.已知指数函数，，且，则实数________.

14.已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值为9.

（1）求a，b的值；

（2）若，且，函数在上有最大值9，求k的值.

15.已知函数，其中

（1）求函数的最大值和最小值；
（2）若实数满足：恒成立，求实数的取值范围.

答案以及解析

1.答案：D

解析：本题考查分段函数的单调性.当时，单调递减，当时，单调递减，且，所以是定义域R上连续的递减函数，所以.

2.答案：C

解析：本题考查二次函数图象和指数函数图象.由题图可知，，，则，，则是增函数，可排除A项，B项，再根据，可排除D项.

3.答案：A

解析：本题考查指数函数的求值.由，得，，则.

4.答案：C

解析：设,其图象开向上，对称轴为直线.
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，又在上单调递增, ，解得.故选C.

5.答案：B

解析：方法一：由题设知

，由指数函数的图像易知答案为B.

方法二：是偶函数，且，

，排除A，C.又当时，，由指数函数的图像知选B.

6.答案：A

解析：因为为上增函数，在上为增函数，

故即，

因为在上为增函数，故即，

故，

故选：A．

7.答案：D

解析：利用幂的运算性质可得，, 再由 是增函数，知. 故选 : D.

8.答案：AD

解析：本题考查指数函数的性质.，则，所以，故A、D两项正确.

9.答案：ABC

解析：由题意，函数，

因为，所以，所以，

当时，即时，；

当时，即时，，

所以，作出函数的图象，如图所示，

结合图象，可得既不是偶函数，也不是奇函数，且不是单调函数，值域为.

故选：ABC.

10.答案：CD

解析：根据指数函数的单调性可知：，

根据指数函数的单调性可知：，

，故选：CD.

11.答案：2

解析：令，若，则.；若，同理得(舍去).

12.答案：4

解析：函数是指数函数，
.

13.答案：0

解析：本题考查指数函数与二次函数的综合运用.由，则，解得或（舍去），所以.

14.答案：（1），

（2）k的值为2或

解析：（1）二次函数的对称轴为，且图象开口向上，
在区间上最小值为，最大值为，
故，解得，.

（2）令，则.
当时，，所以，
则最大值为，解得或（舍去）；

当时，，所以，
则最大值为，解得或（舍去）.

综上可知，k的值为2或.

15.答案： （1）最小值为，最大值为26；

（2）.

解析： (1)

令，

∵，

∴.

令

当时，是减函数；当时，是增函数.

∴

(2)∵恒成立，即恒成立

∴恒成立.

由(1)知，

∴.

故的取值范围为