2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考数学试题及参考答案

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2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考试题数学（参考答案）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDCACDDD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ABADBDACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13． 1        14．       15．      16． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）因为圆心坐标为，且圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离等于半径，即，                    ..........................2分圆的方程为：．                ……………………………….4分（2）若选条件①，设圆心到直线l的距离为d，因为，则，………………………………………………….6分由点到直线的距离公式，，           ......................................................8分解得．（计算出一个结果扣一分）           ...............................................10分若选条件②，设圆心到直线l的距离为d，由，，                   ………………………………………………….6分由点到直线的距离公式，，          ......................................................8分解得．                               ...............................................10分18．（1）解法一：以为原点建立如图所示的直角坐标系．则．所以，…………….1分设平面的法向量为，则．         …………….2分解得，令得，．所以．………………………………….3分设与平面所成角为，则….4分所以，与平面所成角为．………………………………………..….5分解法二：作交的延长线于点（图略）． ……………………………...….2分易知为与平面所成角．因为，所以．所以与平面所成角为．……………………………………………… …….5分（2）解法一：平面的一个法向量为，                 ………….8分．                                       ………….11分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．             (求得负值扣一分）………….12分解法二：作交于点，作于点（图略），易知为二面角的平面角．……………………………………………………………… ……....7分因为， 所以．．根据勾股定理，，……………………...…………...…….10分所以，二面角的余弦值为．…………………….12分  19．（1）因为两点关于原点对称，不妨设点在第一象限，则．.........................1分所以，解得，..............................2分离心率．……………………………….….4分（2）（方法1）设直线，．…………………..…….5分联立直线与双曲线的方程得：．………………….6分根据韦达定理，有．………………………………………...…….7分所以，…………………………………………...…8分．…………………………………………………..…9分点到直线的距离，所以，…..…10分解得或（舍去），所以．……………………………………………...……11分所以直线的方程为或．………………………………………………12分（方法2）设直线，．…………………..…….5分联立直线与双曲线的方程得：．……………….6分根据韦达定理，有．……………………………………...…….7分所以，………………………………………...…8分直线与x轴的交点为． 所以，…………………………………..…10分解得或（舍去），所以．……………………………………………...……11分所以直线的方程为或．………………………………………………12分   20．（1）取中点，连接，…………………………………………………...1分因为，所以，故，…………2分因为，平面EFH，所以平面．         …………3分因为平面，所以．……………………………………………………4分（2）①因为，，所以，，因为平面平面，由（1）知，为平面与平面的二面角，所以，因为，， 所以平面，则即为直线与平面所成角，故，则，                ………5分由勾股定理可得：．………………………………………………….6分②连接，因为点为的重心，所以点必在直线上，过点作交于点，则，因为平面，平面，所以，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由①知，为等边三角形，所以，，所以，………………………………………………….7分所以，设平面的法向量为，则             ...............8分令得：，所以，                ...............9分设平面的法向量为，则           ...............10分解得：，令，则，所以        .....................11分则，设平面的夹角为，显然为锐角， ……………….12分 20．（1）依题意，，，， 由，解得．    （a,b,c一个一分）               所以椭圆的标准方程为：．……………………………………………………4分（2）解法一：因为直线斜率为，则直线的方程为， 即，                                    ……………………………5分联立解得，所以 ，       ……………6分所以，……………7分点到直线的距离为，…………………………..8分，…………………………..10分所以，，因此，当且仅当，即时，等号成立  因此，三角形面积的最大值为．…………………………………………………12分解法二：设直线的斜率为，则直线的斜率为．          ……………5分联立解得，所以 ．          ……………6分联立解得，所以 ．        ……………7分不妨设，则．………………………………………...8分，                       ……………10分因为，当且仅当时等号成立．所以，因为，所以三角形面积的最大值为．……………………………..12分       22．（1）设．则．……………………………………..1分所以，化简得．…………………………....2分因此，曲线的方程为．………………………………………………..3分（2）解法一：当直线斜率存在时，设直线，．因为在上，所以．联立直线与椭圆的方程得：．根据韦达定理， 有．……………4分设定点．因为，所以． …………………………………...5分将代入化简得：．…………………...…7分所以，解得．………………………………………………..8分直线斜率不存在时，与交于两点，易得．所以曲线上存在定点，使得恒成立．…………………………………9分解法二：当直线斜率不存在时，与曲线交于两点．因为，所以点在以为直径的圆上．联立椭圆与圆的方程，解得或（舍去）．直线斜率为0时，与曲线交于两点．因为，所以点在以为直径的圆上．联立椭圆与圆的方程，解得或（舍去）．下面验证为所求定点．设直线，．联立直线与椭圆的方程得：．根据韦达定理， 有．因为，所以．化简得，即．所以或，即或（舍）．.……8分所以直线，过点．直线斜率不存在时，易得，过点．综上，曲线上存在定点，使得恒成立．………………………………9分过点作于，则．.10分当时，最大，此时．……………………………………………..11分所以的最小值为．………………………………………………………...12分