江苏省苏州中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

江苏省苏州中学2022-2023学年度第一学期期中考试

高一数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数图象可得，根据一元二次不等式可得，进而求出.

【详解】，，

故选：C.

2. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.

【详解】由题意得是真命题，即，，

当时，符合题意；

当时，有，且，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选:D.

3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，对于函数，

则有，解得或.

因此，函数的定义域为.

故选：D.

4. 已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（    ）

A. 9 B. 24 C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为函数图象恒过定点

又点A的坐标满足关于的方程，

所以，即

所以

，当且仅当即时取等号；

所以的最小值为4．

故选：C．

5. 已知关于的不等式的解集为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，且、为方程的两根，分类讨论，求出、的值，即可得解.

【详解】因为关于的不等式的解集为，则，

而方程的两根分别为，.

若，无解；若，解得.

因此，.

故选：B.

6. 若不等式对一切都成立，则a的最大值为（　　）

A. 0 B. 2 C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.

【详解】因为不等式对一切恒成立，

所以对一切，，即恒成立．

令．

易知在内为减函数．所以，

故，所以的最大值是．

故选：D

7. 已知函数 ．若，则实数的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.

【详解】解：当时，，解得，

当时，，解得，

所以，当时，，

令时，或；令时，；令时，或，

所以，作出函数的图像如图，

当时，实数的取值范围是.

故选：D

8. 已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出与值域，由题意可知，由此即可求解

【详解】时单调递增函数，

的值域是，

的对称轴是，在上，函数单调递减，

的值域是，

因为存在，，使得，

所以,

若，则或，

解得或，

所以当时，，

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若且，则

D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可依次求解．

【详解】对于A，当时，，故A为假命题，

对于B，，

，

，，

，故B为真命题，

对于C，，

，即，

，

，故C为真命题，

对于D，，

当，时，取得最小值为，且

故D为真命题．

故选：BCD．

10. （多选）下列关于函数的结论正确的是（    ）

A. 单调递增区间是 B. 单调递减区间是

C. 最大值为2 D. 没有最小值

【答案】AC

【解析】

【分析】先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值.

【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误；

函数由与复合而成，

当时，单调递增，当时，单调递减，

又上单调递增，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故,又，所以，故A，C正确，D错误．

故选：AC.

11. 若，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.

【详解】由，得，令，则．

因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，

所以，故A正确；

因为在和上都单调递减，

所以当时，，故B错误；

当，时，，无意义，故C错误；

因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．

故选：AD．

12. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A. 关于x的方程在区间上的所有实数根的和为

B. 关于x的方程在区间上的所有实数根的和为

C. 若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或

D. 若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或

【答案】AC

【解析】

【分析】根据所给函数性质作出函数的大致图象，利用函数图象，数形结合求解即可.

【详解】定义在R上的奇函数满足，

所以，所以，即函数的周期，

又函数为定义在R上的奇函数，所以，

又，所以函数关于对称，

当时，，解得，作函数的大致图象，如图，

由图可知方程在区间上的所有实数根的和为，故A正确，B错误；

若函数与的图象恰有5个不同的交点，

当时，由图象可知，直线过点时，即时，满足题意，

当时，找出两个临界情况，当直线过时，，有3个交点

当直线过时，有3个交点，

由图象知，当时，直线与的图象有5个交点.

综上，当或时，函数与的图象恰有5个不同的交点，故C正确D错误.

故选：AC

（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 化简___________.

【答案】##1.6

【解析】

【分析】先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算化简可得.

【详解】

故答案为：

14. 已知，且，那么___________

【答案】

【解析】

【分析】设，得到，且求得，进而求得的值，得到答案.

详解】设，则，

易得定义域为R，又，

所以函数为奇函数，

又因为，即，可得，所以，

则.

故答案为：.

15. 已知，，若，则的最小值为_____________.

【答案】4

【解析】

【分析】因为，，将化为，利用基本不等式，转化为关于的一元二次不等式解决.

【详解】因为，，且，所以，即，化简得，，

解得：或，因为，，所以，当且仅当时，取“=”，所以的最小值为4.

故答案为：4

16. 已知函数，若存在实数同时满足和，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据奇偶性定义求得为奇函数，从而可得，从而可将整理为：，令，则在有解，通过求解函数的值域可得到的取值范围.

【详解】的定义域是，且，

 为上的奇函数，

又 

有解，

 即有解，

即

令，则在有解，

令，则，

在上单调递增，

 ，

所以，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）若，求；

（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的          ，求正实数的取值范围．

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；

（2）若选①，则是的真子集．若选②，则是的真子集,根据集合的包含关系，列不等式，即可求解的取值范围.

【小问1详解】

因，则．

当时，，所以．

【小问2详解】

选①  因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集．

所以．经检验“=”满足．

所以实数的取值范围是．

选②  因为“”是“”成立的必要不充分条件

所以是的真子集．

所以，经检验“=”满足．

所以实数的取值范围是．

18. 定义在R上的函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－2对任意m，n∈R恒成立，当x＞0时，f(x)＞2.

(1)证明：f(x)在R上是增函数，

(2)已知f(1)＝5，解关于t的不等式f(t－1)≤8.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】(1) 根据定义判断函数单调性的步骤判断即可．

(2) 根据f(1)＝5，利用表达式求得f(2)＝8，将不等式化为f(t－1)≤f(2).，进而根据函数的单调性即可求得t的范围．

【详解】(1)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.

∴f(x2－x1)＞2，

f(x1)－f(x2)

＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)

＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋2

＝2－f(x2－x1)＜0.

∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在R上是增函数．

(2)∵f(1)＝5，

∴f(2)＝f(1)＋f(1)－2＝8.

由f(t－1)≤8得f(t－1)≤f(2)．

∵f(x)在R上为增函数，

∴t－1≤2，即t≤3.

∴不等式解集为{t|t≤3}．

【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，根据函数的单调性解相关的不等式问题，属于基础题．

19. 已知函数，其中a为实数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）首先去绝对值，表示为分段函数，再分别求两段的最小值，即可求函数的最小值；

（2）分，和三种情况讨论函数的单调性，再根据函数在区间上单调递增，列式求实数的取值范围.

【小问1详解】

当时， ，

，，此时当时函数取得最小值；

当时，函数的值域是，

所以函数的最小值是；

小问2详解】

，

当时，，不满足函数在单调递增；

当时，在单调递增，也是单调递增函数，且在处连续，所以函数在上单调递增，符合题意；

当时，函数在，在单调递增，若在上单调递增，所以，得，

综上可知，的取值范围是或.

20. 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.

（1）将该厂家2021年该产品利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

【解析】

【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；

（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.

【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于是，所以.

（2）由（1），，

当且仅当时“=”成立.

所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

21. 已知定义在上的函数是奇函数.

（1）求的值：

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意利用函数的奇偶性的性质，求出､的值.

（2）根据题意转化为恒成立，进而转化为恒成立，再根据函数在区间上是减函数，求出的值，可得的范围.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，

可得，解得，所以，

又由，可得，解得，

所以函数的解析式为.

（2）不等式恒成立，即恒成立，

因为，可得，所以，

令，则，

且.

所以恒成立，

令，则函数在区间上是减函数，

因为，所以.

即实数的取值范围.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

22. 已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）设（），求的最大值；

（3）对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）先求定义域，进而先求出的范围，最后求出函数的值域；

（2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案；

（3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案.

【小问1详解】

由且，得．

，且，

得，则函数的值域为．

【小问2详解】

，

令，

则，，

所以，

令，，则为函数，的最大值．

易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线．

①若，即，则；

②若，即，则；

③若，即，则．   

综上可得．

【小问3详解】

由（2）易得．

要使在上恒成立，即使在恒成立，

所以在上恒成立．   

令，，

若，则对任意恒成立；

若，则有，即，

解得或．

综上，实数m的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题对的处理是一个关键点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理.