湖南省永州市祁阳县第四中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版附解析）

祁阳四中2022年下期高二年级期中考试数学试题

时间：120分钟  分值：150

一、单选题（共40分）

1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据射影定义可得点坐标，由向量模长运算可得结果.

【详解】是在坐标平面内射影，，

.

故选：C.

2. 直线的倾斜角为（   ）

A. 45° B. 30° C. 60° D. 120°

【答案】C

【解析】

【分析】首先通过直线方程求出直线斜率，进而求出直线倾斜角.

【详解】已知直线的斜率为，

由于直线倾斜角的取值范围是，故该直线的倾斜角为60°.

故选：C.

3. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（    ）

A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

【答案】D

【解析】

【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．

【详解】化圆：为，

可得圆的圆心坐标为，半径为7；

由圆：的圆心坐标为，半径为2，

∴，而，

∴两圆的位置关系为内切．

故选：D．

【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．

4. 如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.

【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，

又因为为的中点，所以，

所以，

故选：A.

5. 已知，若三向量共面，则实数等于（    ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量共面列方程求解即可.

【详解】因为、、三向量共线，所以，即，整理得，解得.

故选：A.

6. 已知直线与平行，则的值是（    ）

A. 1 B. 2或5 C. 5 D. 1或2

【答案】B

【解析】

【分析】讨论，结合两直线的位置关系求值，注意验证所求的值保证两线平行而不能出现重合的情况.

【详解】由平行条件可知，

当时，，解得；

当时，解得，此时，两条直线也平行；

所以或.

故选：B.

7. 若两直线，的倾斜角和斜率分别为，和，，则下列四个命题中正确的是

A. 若，则 B. 若，则

C 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可求解.

【详解】令，，则，，，故A错误；

令，，，则，，，故C错误；

令，则､不存在，故B错误；

由知，，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查了基本知识，属于基础题.

8. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则错误的是（    ）

A. 点的坐标为 B. 点P的轨迹方程

C.  D. 的最大值为

【答案】B

【解析】

【分析】求出直线恒过的定点可判断A，由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C，由已知可得，设，进而求出的最大值，即可判断D．

【详解】由动直线，得，所以定点，故A正确；

由动直线，可得，

由和，满足

所以，可得，

所以，故C正确；

设，则，

即点P的轨迹方程为，而与，不重合，则，故B错误；

因为，设，为锐角，则，，

所以，

所以当时，取最大值，故D正确．

故选：B．

二、多选题（共20分）

9. 已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据与，直接可得解.

【详解】由，得，

所以当与同向时，，

当与反向时，，

故选：AD.

10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B. 不相等的两个空间向量的模可能相等

C. 模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量

D. 若是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底

【答案】AB

【解析】

【分析】根据空间向量的概念、向量相等，向量的模，空间向量的基底逐项判断即可得解.

【详解】因为三个非零向量能构成空间一个基底，故三个向量不共面，故A正确；

向量既有大小又有方向，所以不相等的两个空间向量的模可能相等，故B正确；

因为向量既有大小又有方向，所以向量不能比较大小，故C错误；

由是两个不共线的向量，且（且）可知，

向量与向量共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故D错误.

故选：AB

11. 下列说法中不正确的是（    ）

A 直线与y轴交于一点，其中截距

B. 过点，且斜率为4的直线方程为

C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是

D. 方程表示过点，的直线

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A，由截距可以为负判断；对B，直线不包括点；

对C，直线不包括截距为0的情况；对D，方程为两点式方程的变形.

【详解】对A，截距可以为负，A错；

对B，该方程不包括点，B错；

对C，截距为0时，不能表示成，C错；

对D，为两点式方程的变形，D对.

故选：ABC

12. 下列结论正确的是（    ）

A. 点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为m>－3

B. 光线由点P（2，3）射到x轴上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程是

C. 四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）在同一个圆上

D. 若圆与圆关于直线x＋y＝0对称，则圆的方程为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据圆的方程的性质与点与圆的位置关系列不等式求m的取值范围，判断A；求点P（2，3）关于x轴的对称点，利用点斜式求反射直线方程，判断B；求过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程，判断点（－1，1）与圆的位置关系，判断C；求对称圆的圆心，再求圆的方程，判断D.

【详解】因为表示圆C的方程，所以，所以或，又点A（1，2）在圆C：外，所以，解得，所以或，A错；

设点P（2，3）关于x轴的对称点为点，则点的坐标为，由光学性质可得点，Q（1，1）都在反射直线上，所以反射直线的斜率，所以反射直线的方程为，即，B对；

设过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为，由已知可得，解方程可得，所以过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为，又，所以点在圆外，所以四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）不在同一个圆上，C错；

设圆的圆心为，半径为，由已知的坐标为，，因为圆与圆关于直线x＋y＝0对称，所以点与点关于直线x＋y＝0对称，且圆的半径为1，设圆的方程为，由已知可得且，所以，，所以圆的方程为，即，D对；

故选：BD.

三、填空题（共20分）

13. 若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据正切函数的单调性求解.

【详解】因为正切函数在上单调递增，

所以，当时，，

所以斜率

【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.

14. 已知向量，，且与互相垂直，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，即可得出答案．

【详解】向量，，且与互相垂直，

所以，

解得，

故答案为：1

15. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据二次方程表示圆的必要条件平方项的系数相等，求得m的值，然后再利用配方法检验即可.

【详解】由题意得，解得或2.

当时，方程为，即，圆心为；

当时，方程为，即，不表示圆.

故答案为：

16. 在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆的面积最小值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，再求出的中垂线方程，设设圆心坐标为，根据，得到，参变分离求出的最小值，即可求出，从而求出面积最小值.

【详解】解：要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，

又，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，

所以，

即，

则，

所以，

所以，当且仅当即时取等号，

所以，所以圆的面积最小值为，此时；

故答案为：

四、解答题（共70分）

17. 已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】根据向量加法法则求解即可；

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上截距为1，直线的倾斜角为.求：

（1）直线的方程；

（2）的面积S.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）应用两点式求直线，点斜式求直线；

（2）由（1）得、、，进而可得的面积，即可求结果.

【小问1详解】

因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点，

所以直线的方程为：，化简得.

由己知直线的斜率为：，

所以直线的方程为：，化简得.

【小问2详解】

由（1）知：直线为，令，得，故.

直线为，令，得，故，

所以.

19. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．

（1）用，，表示；

（2）求AE的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据空间向量运算求得正确答案.

（2）结合（1）利用平方的方法，结合向量运算求得正确答案.

【小问1详解】

【小问2详解】

由（1）得，

两边平方得

，

所以.

20. 如图，在正方体ABCD-A1B2C3D4中，E，F，G，H分别是AB，BC，CC1，DD1的中点．

（1）证明：平面B1EF⊥平面ABGH．

（2）若正方体的棱长为1，求点D1到平面B1EF的距离．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量法向量的垂直即可证明，

（2）根据空间向量的点面距公式即可求.

【小问1详解】

建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为1，则

,

所以,设平面的法向量为 ，

所以 ，取，则，故；

由,设平面的法向量为 ，

所以 ，取，则，故

由于，所以，

因此平面B1EF⊥平面ABGH

【小问2详解】

，则 ,

设点D1到平面B1EF的距离为，则，

21. 已知：.

（1）若直线：与交于，两点，且以为直径的圆过原点，求实数的值；

（2）过点作直线交于，两点，若，求直线的斜率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知得，联立直线与圆的方程，结合韦达定理即可求解.

（2）首先设直线，与圆联立，并且得到根与系数的关系，由条件可知，利用消参可求得直线的斜率.

【小问1详解】

设，，

联立，整理得，

显然，由韦达定理知：，，

因为为直径的圆过原点，即，故，

又因为，

所以，即，

解得.

【小问2详解】

设，，

联立，整理得，

由韦达定理知，，

，，

得，两式消去，得，所以，解得：.

即直线的斜率.