江苏省盐城市阜宁中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022年秋学期高二年级期中学情调研

数学试题

时间：120分钟 分值：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由斜率公式，倾斜角与斜率的关系求解，

【详解】由题意得，

则的倾斜角为，

故选：B

2. 已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，分别求出坐标轴上的截距，从而可得出答案.

【详解】解：当时，直线，在轴上没有截距，不符题意，

当时，

令，则，令，则，

则，解得或，

综上或.

故选：C.

3. 已知数列满足，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由递推公式结合逐项求解即可.

【详解】由，得，，，，

故选：B

4. 已知双曲线，则当实数变化时，这些双曲线有（    ）

A. 相同的焦点 B. 相同的实轴长 C. 相同的离心率 D. 相同的渐近线

【答案】D

【解析】

【分析】分别求与时双曲线的的值，由此判断各选项的对错.

【详解】当时，方程可化为，

∴ ，，，

焦点坐标在x轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，

当时，方程可化为，

∴ ，，，

焦点坐标在y轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，

所以这些双曲线有相同的渐近线.

故选：D.

5. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由椭圆面积公式求得关于的关系式，结合等边三角形性质可得的基本关系，联立方程即可求解.

【详解】由椭圆面积公式可得，当时，①，如图，当为等边三角形时，②，联立①②得：，故椭圆的方程为.

故选：B

6. 设等比数列的前项和为，公比，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】考虑，两种情况，代入公式化简得到，再计算得到答案.

【详解】当时，，不成立；

当时，，即，解得，

.

故选：A

7. 抛物线有如下光学性质：经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，与抛物线交于点，若的面积是，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴知点纵坐标为，代入抛物线方程可求点横坐标，利用和求出直线的方程，代入抛物线方程消去可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求长度，利用点到直线距离公式可求到直线的距离，根据即可求出．

【详解】解：由题知抛物线焦点为，轴，

将代入得，则为，

由题可知、、三点共线，所以方程为：，即，

代入抛物线方程消去得，，

设方程两根为、，则，则，

又到：的距离，

∴由得，解得或（舍去）．

故选：D．

8. 设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由等面积法列出表达式，将所有变量全部代换为和，齐次化可求解.

【详解】如图所示，结合椭圆第一定义，，

则，，要使最大，则，

即，整理得：，

同时平方得，整理得，

同时除以得：，解得或1（舍去），故.

故选：C

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知直线，下列说法正确的是（    ）

A. 若直线与直线平行，则

B. 当时，直线与直线垂直

C. 当时，点到直线的距离为

D. 存在实数，使得直线与两坐标轴围成的三角形面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】由直线的位置关系，点到直线的距离公式对选项逐一判断，

【详解】对于A，若与直线，则，得或，

经检验两直线平行，故A错误，

对于B，当时，与直线垂直，故B正确，

对于C，当时，，点到直线的距离为，故C错误，

对于D，直线过定点，当直线过或时，直线与两坐标轴围成的三角形面积为，

由或解得或，故D正确，

故选：BD

10. 已知直线，圆，则（    ）

A. 直线恒过定点

B. 当直线与圆相切时，

C. 当时，直线被圆截得的弦长为

D. 当时，直线上存在点，使得以为圆心，为半径的圆与圆相交

【答案】ACD

【解析】

【分析】由直线的方程，直线与圆，圆与圆的位置关系对选项逐一判断，

【详解】对于A，方程可化为，

由得，故直线恒过定点，故A正确，

对于B，当与圆相切时，则圆心到直线距离，解得，故B错误，

对于C，当时，直线方程为，圆心到直线距离，

则直线被圆截得的弦长为，故C正确，

对于D，当时，直线方程为，圆心到直线的距离，

则直线上存在点使得以为圆心，为半径的圆与圆相交，故D正确，

故选：ACD

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（    ）

A. 的周长为 B. 的面积最大值为

C. 存在点，使得 D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用椭圆的定义及几何性质逐项判断即可.

【详解】对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确；

对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确；

对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；

对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D正确.

故选：ABD.

12. 设等差数列前项和为，若，且，则（    ）

A. 数列为递增数列 B. 和均为的最小值

C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，由得到，结合，得到，求出，A正确；

由得到，从而求出，得到，，求出为的最小值，B错误；

，解方程，求出，C正确；

求出，，列出方程，求出，D正确.

【详解】设等差数列的公差为，

因为时，，

即，故，

因为，

所以，

即，

因为恒成立，所以，

故等差数列为递增数列，A正确；

则，

即，

故，

由A选项知，故，，

所以，故为的最小值，B错误；

，

因为，故当时，，

所以存正整数，使得，C正确；

，，

令，因为，

解得：

存在正整数，使得，D正确.

故选：ACD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 过两条直线与的交点，且斜率为的直线的方程为_________．

【答案】

【解析】

分析】联立直线方程得交点坐标，求点斜式方程，

【详解】由解得，

故的方程为，即，

故答案为：

14. 已知抛物线的准线方程为，则实数_________．

【答案】

【解析】

【分析】将抛物线化为标准形式，则其准线为.

【详解】由可得，则其准线为：，得.

故答案为：

15. 在平面直角坐标系中，过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心、半径为的圆经过两点，则双曲线的标准方程为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线的性质求解，

【详解】由题意得，双曲线的渐近线为，设，

，则，

，而，解得

双曲线的标准方程为，

故答案为：

16. 已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项_________；设，数列的前项和为，则_________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先由题设条件得到是等差数列，从而求得，由此可得，进而得到，再利用裂项相消法即可求得.

【详解】因为，且，则，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

则，则，

当时，，

当时，满足，

所以，

所以，

故.

故答案为：；.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知圆．

（1）若点在圆的外部，求实数的取值范围；

（2）若圆与圆相切，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据点与圆的位置关系求解（2）根据圆与圆相切求解.

【小问1详解】

圆的方程为

∵ 点在圆的外部，   ∴ ， 解得

∴ 实数的取值范围为．

【小问2详解】

，，

若圆与圆相外切，则，解得：

若圆与圆相内切，则，解得：

∴当圆与圆相切时，实数的值为或

18. 已知直线分别与轴、轴相交于两点，圆．

（1）已知直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程；

（2）若点是圆上的一个动点，求的面积的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）先根据垂直设出直线方程，再根据相切即可求出；

（2）求出点到直线的距离的最大值和最小值即可求出面积的范围.

【小问1详解】

由直线与直线垂直，设直线的方程为，

∵直线与圆相切，∴，解得或，

∴直线的方程为或．

【小问2详解】

由题意得，，，

又圆心到直线的距离为，

∴点到直线的距离的最大值为，最小值为，

设点到的距离为，则

又的面积，所以.

∴的面积的取值范围为．

19. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质列式求解，

（2）由分组求和法求解，

【小问1详解】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且

由题意得：，又，，解得：，

∴ ，．

【小问2详解】

∴

．

20. 已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点的直线与双曲线在轴右侧相交于两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）定值，定值为

【解析】

【分析】（1）根据，，以及，求解即可；

（2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，表示出垂直平分线方程，得到，再表示，作比值即得解.

【小问1详解】

由题意得：，，， 解得：，，

∴ 双曲线的标准方程为．

【小问2详解】

由题意可知，直线的斜率一定存在，且不为0

设直线的方程为，，.

联立方程组，消去整理得，

则，整理得．    

∴ ，  ，

∴ 线段的垂直平分线的方程为：，

令得：，即，     ∴

．

∴ ，   ∴ 是定值，且该定值为．

21. 已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，且不等式对任意恒成立，求正整数的最大值．
 

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由等差数列通项公式与前项和公式列列方程组求解，由与的关系求解，

（2）转化为最值问题求解，

【小问1详解】

设等差数列的公差为，则

 ，解得：   ∴ ．

由得：

当时，

又适合上式，所以．

【小问2详解】

不等式对任意恒成立

则，

显然，则为单调递增数列，

，

正整数的最大值为．

22. 如图，已知椭圆经过点，离心率为，圆以椭圆的短轴为直径．过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线，且直线交椭圆于另一点，直线交圆于两点．

（1）求椭圆和圆的标准方程；

（2）当的面积最大时，求直线的方程．

【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为   

（2）

【解析】

【分析】（1）采用待定系数法，结合椭圆关系式即可求解；

（2）可设直线，直线，结合几何法和两点距离公式求出，表示出面积公式，由换元法和二次函数性质即可求解，进而得到直线的方程．

【小问1详解】

由题意得：，，，

解得：， ，，

∴椭圆的方程为，圆的方程为；

【小问2详解】

由（1）知，点．

由直线过点且互相垂直，可设直线，直线，

∴圆心到直线的距离为，

∴ ．

∵直线与圆有两个交点，∴，解得，

由得：，

∴，，

∴，

∴的面积，

设，，则

，

∴当，即，即时，的面积取最大值，

此时，直线的方程为，即．