山东省济南市章丘区2022-2023学年高二数学上学期期中考试试题（Word版附答案）

高二期中考试

数    学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线的斜率为

A．     B．     C．     D．

2．古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为

A．30π     B．120π     C．    D．

3．在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且，则

A．1     B．3     C．     D．

4．若双曲线的渐近线与圆相切，则

A．     B．     C．     D．

5．已知某抛物线的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足，则钝角

A．     B．     C．     D．

6．如图所示，在几何体ABCDEF中，，，，，，AE⊥平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为

A．     B．     C．     D．

7．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为

A．  B．  C．  D．

8．已知对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是

A．     B．2     C．     D．3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知双曲线C：，则下列选项中正确的是

A．C的焦点坐标为      B．C的顶点坐标为

C．C的离心率为        D．C的虚轴长为

10．如图，在正三棱柱中，若，则

A．三棱锥的体积为    B．三棱锥的体积为

C．点C到直线的距离为     D．点C到直线的距离为

11．已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是

A．直线l过定点

B．对任意λ，直线l与圆C相交

C．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为

D．对任意λ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1

12．已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有

A．的周长为4a

B．若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则

C．若，则e的最小值为

D．若，则e的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若直线与互相垂直，则           ．

14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为           ．

15．已知圆：与圆：相离，则整数m的一个取值可以是           ．

16．在长方体中，，，，则           ；点C到平面的距离为           ．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知圆C：．

（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；

（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．

18．（12分）

在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是AD，的中点．

（1）证明：MN与平面BCN不垂直；

（2）求MN与平面，所成角的正弦值．

19．（12分）

已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点坐标为，求△MNF的面积．

20．（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，PA⊥平面ABCD，M为PD的中点．

（1）证明：AM∥平面PBC．

（2）求平面PBC与平面PCD的夹角．

21．（12分）

已知双曲线C：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．

22．（12分）

已知椭圆W：的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为．

（1）求椭圆W的方程；

（2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接交椭圆W于点C，若，求直线AC的方程．

高二期中考试

数学参考答案

1．B

直线的一般式为，其斜率为．

2．C

因为，，所以椭圆的面积为．

3．A

因为，所以，即．因为M是平面ABC上一点，所以，所以．

4．B

双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径为2，则，得．

5．D

由题知，抛物线的焦点为，准线方程为，因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为，所以，解得，即B点坐标为（舍去）或．因为直线BF的斜率为，所以倾斜角为，故钝角．

6．A

以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，．

因为，，

所以，

故异面直线EF与AB所成的角为．

7．D

入射光线所在的直线方程为，即．联立方程组解得，即入射点的坐标为．设P关于直线对称的点为，则，解得即．因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在的直线方程为，即．

8．A

设直线l：，半圆C：，则表示半圆弧上任意一点到直线l的距离大于或等于1，即原点O到直线l的距离d大于或等于2．由，得，即实数m的最大值是．

9．BCD

因为，，所以，，．因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为，顶点，离心率为，虚轴长为．

10．AC

三棱锥即三棱锥，其体积为，故A正确，B不正确；取AC的中点O，则，，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角系（图略），则，，，所以，，所以在上的投影的长度为，故点C到直线的距离．

11．AB

整理直线l的方程，得，可知l过定点，故A正确；将代入圆C的方程，得到，可知点在圆C内，所以直线l与圆C相交，故B正确；因为圆心到直线l的距离，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以有最大值4，故C不正确；因为圆心与点之间的距离为，半径为2，所以圆C上只有2个点到直线的距离为1，故D不正确．

12．ACD

根据椭圆的定义，的周长为，故A正确；

设，，则，所以，，由得，所以，即，故B不正确；

，因为，所以，由得，故C正确；

由，得，故D正确．

13．6

由，得．

14．

设这条抛物线的方程为，由图可知B点坐标为，

所以，得，故这条抛物线的准线方程为．

15．2（或3或4）（只需从2，3，4中写一个答案即可）

因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆圆心的距离为．因为圆的半径为3，圆的半径为，所以，所以，故整数m的取值可能是2，3，4．

16．；

以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，，所以，，，，．因为，，所以．

设平面的法向量为，因为，，所以，令，得．

因为，所以点C到平面的距离．

17．解：

（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．

若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．

因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，

即，解得，

所以切线l的方程为，即．

综上，切线l的方程或．

（2）易知直线m与圆C相离，

因为，所以当最小时，有最小值．

当时，最小，最小值为，

所以的最小值为．

18．解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．

（1）证明：

因为，，

所以，但，

所以MN与平面BCN不垂直．

（2）设平面的法向量为，

因为，，

所以，

令，得．

设MN与平面所成的角为，

则，

故MN与平面所成角的正弦值为．

19．解：

（1）因为，

所以，

故抛物线C的方程为．

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，

则，

两式相减得，

整理得．

因为MN的中点为，

所以，

所以直线l的方程为，即．

联立方程组，

得，

则．

因为直线l与y轴的交点为，

所以△MNF的面积为．

20．（1）证明：

设PC的中点为N，连接MN，NB，

则且．

因为且，所以且，

所以四边形MNBA为平行四边形，所以．

又因为平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC．

（2）解：过A作，垂足为H，则．

如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

则，，，．

设平面PBC的法向量为，

因为，，

所以，令，得．

设平面PCD的法向量为，

因为，，

所以，

令，得．

设平面PBC与平面PCD的夹角为，

则，

所以平面PBC与平面PCD的夹角为．

21．（1）解：设双曲线C的一个焦点为，一条渐近线的方程为，

所以焦点到渐近线的距离为．

因为，所以，，

所以双曲线C的方程为．

（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，

此时，．

当直线l的斜率存在时，不妨设直线l：，且斜率，

联立方程组，

得，

由，

得，

联立方程组，

得．

不妨设直线l与的交点为P，则．

同理可求，

所以．

因为原点O到直线l的距离，

所以，

又因为，所以，

故△OPQ的面积为定值，且定值为．

22．解：

（1）由题意得，

所以．

因为椭圆W的离心率，

所以．

因为，所以，，

故椭圆W的方程为．

（2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，

设直线AC的方程为，，，

联立方程组，消去x并整理得，

所以，，

所以

．

因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，

所以点B到直线AC的距离为2d，

所以．

由，解得，

所以，

故直线AC的方程为，

即或．