四川省师范大学附属中学2022-2023学年高二数学（理）上学期期中试题（Word版附解析）

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四川师大附中2022—2023学年度上期半期考试试题高2021级高二上期理科数学一.选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C. ， D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及交集的定义即可求解.【详解】由题意可知，解得，所以.故选：D.2. 已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ）A. 3 B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示计算作答.【详解】向量，，而与共线，则，解得，所以实数的值为.故选：C3. 2019年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则等于（    ）A. 100 B. 200 C. 120 D. 400【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分层抽样方法列式计算作答.【详解】依题意，，解得，所以等于120.故选：C4.  对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A. 46，45，56 B. 46，45，53C. 47，45，56 D. 45，47，53【答案】A【解析】【详解】由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A.点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.5. 设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项的和为A. 63 B. 64 C. 127 D. 128【答案】C【解析】【详解】由及是公比为正数的等比数列，得公比q=2，所以． 6. 已知命题“关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（      ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出当命题为真命题时的取值范围，根据已知条件可得出关于实数的不等式，即可求得的取值范围.【详解】若为真命题，则，解得，若非为真命题，则，由题意可得，则，解得.故选：A.7. 下列命题中正确的是（    ）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. 在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为C. 已知命题：，，则：，D. 用更相减损术求和的最大公约数时，需做减法的次数是【答案】B【解析】【分析】对于A，利用否命题的定义即可求解；对于B，利用对数不等式及几何概型的计算公式即可求解；对于C，特称命题的否定为全称命题即可求解；对于D，利用更相减损术即可求解.【详解】对于A，命题“若，则”的否命题为：“若，则”,故A错误；对于B， 由，得，解得，又因为，所以所求的概率为，故B正确；对于C，命题：，，则：，，故C错误；对于D，由，所以是和的最大公约数，因此用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是，故D错误；故选：B.8. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，俯视图是等腰直角三角形，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定三视图，确定原三棱锥的结构特征，再结合补形的方法求出其外接球体积作答.【详解】依题意，给定的三视图对应的几何体为如图所示的三棱锥，其中底面，两两垂直，且，因此三棱锥与以线段为共点三条棱的长方体有相同的外接球，于是得三棱锥的外接球直径，所以三棱锥的外接球体积.故选：A9. 公元263年左右，我国数学刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名是徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（    ）（参考数据：）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B【解析】【分析】根据框图的循环结构逐步计算即可【详解】运行程序框图：①：，；②，；③：，跳出循环故选：B.10. 直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.11. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算得到，画出不等式组所表示的平面区域，结合图形，确定目标函数的最优解，代入求得最大值与最小值，即可求解.【详解】因为且，所以画出不等式组对应的平面区域及直线，如图所示，当平移直线结合图象知当直线经过点时，目标函数取得最小值，当直线经过点时，目标函数取得最大值，由，解得，，解得，所以目标函数的最小值为，最大值为.所以的取值范围是.故选：B.12. 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排成一个数列，记该数列为.数列的前项和为，若对任意，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意结合零点分析可得，，结合等差数列的定义与前项和公式求，再根据恒成立问题结合裂项相消法理解运算.【详解】当时，令，则，即，由题意可得：，则，∴，即，故数列是以首项为0，公差为1的等差数列，则，当时，则，∴，实数的取值范围是.故选：C.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 四川师大附中高2021级有学生600人，学生依次编号为001，002，003，…，600.现用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，已知编号为003的同学在样本中，则第11个编号是___________【答案】【解析】【分析】利用系统抽样的特点即可求解.【详解】由题意可知，抽样间隔为，抽取的第一个样本编号为，则抽样编号为，所以抽取的第11个编号是.故答案为：.14. 在中，已知，，则___________【答案】【解析】【分析】利用三角形的内角和定理及同角三角函数的平方关系，结合诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.【详解】在中，，所以,在中，，所以,因为,所以,所以.故答案为：.15. 两个CB对讲机持有者，小王和小张都在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午2：00时小王在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而小张在下午2：00时正在基地正北距基地30公里以内的某处向基地行驶，则在下午2：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率为___________.【答案】【解析】【分析】求得所有基本事件对应的集合，以及所求事件对应的集合，利用几何概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】设小王距离基地公里，小张距离基地公里，则所有可能的数对满足，他们能够通过对讲机交谈，则包含的数对满足，由此作图如下：根据几何概率的求解公式，在下午2：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率.故答案为：.16. 给出下列命题：①已知点的坐标是，过点的直线与轴交于点，过点且与直线垂直的直线交轴于，设点是的中点，则点的轨迹方程为；②计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：，则等于；③在圆上任取一点，过点作轴的垂线，为垂足，当点在圆上运动时，若，则的轨迹方程；④袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从球中任取两球两球颜色为一白一黑的概率为其中所有正确命题的序号是___________（填写所有正确命题的序号）【答案】①③【解析】【分析】对于①，根据已知条件及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合两点间的距离公式即可求解；对于②,先把十六进制数化为十进制数，利用十进制数计算乘积，再把乘积化为十六进制即可；对于③，根据已知条件及向量的关系得出坐标的关系，再利用点在圆上即可求解；对于④，利用列举法写出基本事件，结合古典概型计算公式即可求解.【详解】对于①，由题意可知，点既是的斜边的中点，又是的斜边的中点，所以，设，则，化简，得，所以点的轨迹方程为，故①正确；对于②,把十六进制数化为十进制数，则,所以,故②错误；对于③，设，，则.由，即，于是有，解得，因为在圆上，所以，把代入，得，即，所以的轨迹方程，故③正确；对于④，将1个红球编号为,2个白球编号为，3个黑球编号为,从6个球中任取2个球的所有可能情况为,,共种，设“从球中任取两球两球颜色为一白一黑”为事件,则事件包括，，共种，所以,故④错误.故答案为：①③.三､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤）17. （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且椭圆经过点，求椭圆的方程.（2）已知命题：，命题：，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义与方程运算求解，注意焦点所在位置；（2）先求解不等式，再根据逻辑联结词的性质，分类讨论运算求解.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，∵，，即，则，∴椭圆的标准方程为.（2）由题意可得：：，则：，：，则：，∵为假命题，为真命题，则真假，或假真，则或，∴实数的取值范围是.18. 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用 (万元)，有如下的统计资料:x2 3 4 5 6 y2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求:（1）线性回归方程;（2）估计使用年限为10年时的维修费用.(注: ，)【答案】（1）；（2）12.38万元..【解析】【分析】（1）先分别求两个变量的平均数，然后利用公式求出，再求，从而可得回归方程；（2）将代入回归方程中求解【详解】（1），(2)将代入得即使用年限为10年时维修费用的估计值为12.38万元.19. 从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小长方形的高的比为，最右边的一组的频数是8.（1）求样本的容量及直方图中的值；（2）估计参加这次数学竞赛成绩的众数､中位数､平均数.【答案】（1），    （2）众数为75､中位数为76､平均数为75【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的相关公式即可求解；（2）利用频率分布直方图中的众数、中位数及平均数的特点即可求解.【小问1详解】∵从左到右各小组的小长方形的高的比为∴从左到右各小组的小长方形的面积的比为∴从左到右各小组的小长方形的面积的分别为，，，，，∵，∴，【小问2详解】设中位数为，平均数为.∵，∴∵，∴估计参加这次数学竞赛成绩的众数为75､中位数为76､平均数为75.20. 已知圆的方程为（1）若时，求圆与圆：的公共弦所在直线方程及公共弦长；（2）若圆与直线相交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）根据两圆相交时两圆方程之差即为公共弦所在直线方程运算求解，并根据点到直线距离公式结合垂径定理求公共弦长；（2）由分析可得，联立方程结合韦达定理运算求解.【小问1详解】若时，则圆：的圆心，半径，由圆与相减得：，所以公共弦所在直线的方程，又∵圆心到公共弦的距离，∴公共弦长为.【小问2详解】设，，则，，由，可得，则，联立方程组，消去y得：，其中，，，则，所以由，解得，此时也成立，即符合题意，∴.21. 如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点.（1）求证：直线平面；（2）若该三棱柱的侧棱长为1，求证：；（3）若异面直线与的所成角为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析    （3）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；（3）根据异面直线夹角的定义分析可得或，分类讨论，结合转换顶点法求锥体体积.【小问1详解】连结交于，连结，在中，∵，分别为和的中点，则，平面，平面，∴平面.【小问2详解】取中点为，连结，，∵，则，平面平面，平面平面，且平面，∴平面，平面，则，在矩形中，∵，即，∴，则，，平面，∴平面，平面，则.【小问3详解】由（1）知，则为异面直线和所成的角或其补角，∴或，若，且，∵，且为的中点，则，平面平面，平面平面，且平面，∴平面， 平面，则，在中，则，即为等边三角形，∴，在矩形中，，三棱锥的体积；若，且，同理可得：，在中，则，即，∴，这与矛盾，不成立；综上所述：三棱锥的体积为.22. 已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且（1）若实数满足，求实数取值范围；（2）若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设是定义在上的函数，其中，是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）    （2）    （3）存在，【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质及函数单调性即可求解；（2）根据（1）的结论及不等式恒成立问题，结合更换主元法及一元一次不等式恒成立问题即可求解；（3）利用奇函数的性质及函数单调性即可求解；结合换元法及一元二次不等式在某区间上恒成立问题即可求解.【小问1详解】∵函数（，为常数）是定义在上奇函数.∴∵，∴任取且，所以，因为，所以，所以，即，所以是定义在上的奇函数且是增函数，由,得，∴,解得，∴实数的取值范围是【小问2详解】∵由（1）知，在上的最大值为∴不等式对所有的恒成立.∵，解得，∴实数的取值范围为.【小问3详解】由，得，所以，由指数函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增的奇函数，且对任意恒成立∴∵，恒成立，∴在恒成立.设，，则不等式对恒成立.∵或或，∴或或，∴实数的取值范围是