江苏省盐城市滨海县2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022～2023学年江苏省盐城市滨海县高二年级秋学期

数学期中考试

一、单选题

1. 准线方程为的抛物线的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的准线方程为可求解.

【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为

故选：D

2. 401是等差数列5，9，，的第项．（    ）

A. 98 B. 99 C. 100 D. 101

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列定义和通项公式即可.

【详解】等差数列5，9，13，…中，

首项，公差，

，

，

故401是等差数列5，9，13…的第100项．

故选：C.

3. 两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（  　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.

【详解】因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，

所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，

由两平行线间的距离公式可得：

两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.

故选：B.

4. 已知点在圆内，则直线与圆O的位置关系为（    ）

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得，再利用点到直线的距离即可判断.

【详解】因为点P在圆O内，

所以，又圆心O到l的距离，

所以，所以直线l与圆O的位置关系为相离．

故选：A．

5. 已知是等差数列，且，则（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】结合等差数列通项公式即可解决.

【详解】设等差数列的公差为 ，由得，，

则
 

故选：B.

6. 直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（    ）

A. 2 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.

【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，

所以，

，

又或，

或（舍去），

故选：C

7. 过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值.

【详解】∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线，

切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，

所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，

圆心到直线的距离，

所以点P到直线的最短距离为，

故选：B

8. 已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得出以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，从而可得到，然后结合及椭圆的离心率即可求出答案.

【详解】因为存在过原点的直线与的交点，满足，

故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，所以，即，

又因为，所以，即，

所以，即.

故选：D.

二、多选题

9. 设点A（-2，3），B（3，2），则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是（　　）

A. -2 B. -1 C. 3 D. 4

【答案】ACD

【解析】

【分析】先分析直线方程可得直线恒过点C（0，-2），斜率为-a，转化为过点C（0，-2）的直线与线段有交点，数形结合即得解

【详解】如图，直线ax+y+2=0，恒过点C（0，-2），斜率-a.

kAC=-，kBC=.

由于当-a≥或-a≤-，即a≤-或a≥时，直线与线段AB有交点，故A，C，D符合，B不符合.

故选：ACD

10. 已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】讨论、写出对应双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断.

【详解】由题设，当时双曲线的焦点坐标为，当时双曲线的焦点坐标为，

A：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，符合要求；

B：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，不合要求；

C：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，不合要求；

D：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，符合要求；

故选：AD.

11. 已知圆，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则圆不可能过点

B. 若圆与两坐标轴均相切，则

C. 若点在圆上，则圆心到原点的距离的最小值为4

D. 若圆上有两点到原点的距离为1，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，将点代入圆的方程，进而通过判别式法判断答案；

对B，根据题意得到a,b间的关系，进而判断答案；

对C，由题意得到，，将其视为圆的方程，进而根据圆的性质判断答案；

对D，根据题意得到圆与圆C总有两个交点，进而根据圆与圆的位置关系求得答案.

【详解】对A，若，将点代入方程得：，方程无解.A正确；

对B，若圆与两坐标轴均相切，则，则可以有.B错误；

对C，由题意，，则到原点的距离的最小值为：.C正确；

对D，由题意，圆与圆C总有两个交点，圆心距，所以.D正确.

故选：ACD.

12. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线：，若某直线上存在点，使得点P到点的距离比到直线的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是（    ）

A. 点的轨迹曲线是一条线段

B. 点的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点

C. 不是“最远距离直线”

D. 是“最远距离直线”

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据抛物线方程，运用联立方程消去的代数运算即可解决.

【详解】由题意可得，点到点的距离比到直线的距离小1，即等价于“点到点的距离等于到直线：的距离”，故点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误;

点的轨迹方程是抛物线，它与直线没有交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确;

要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线有交点，把代入抛物线，消去并整理得，因为，无解，

所以不是“最远距离直线”，故C正确；

把代入抛物线，消去并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题

13. 直线的倾斜角为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解.

【详解】由题意，可知直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，解得，

即换线的倾斜角为.

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

14. 已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.

【答案】，

【解析】

【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式.

【详解】设数列的公差为由题意可知，，，

于是

因为，所以，所以

所以

故答案为：，

15. 已知圆，圆相交于A，B两点，则______．

【答案】120°

【解析】

【分析】两圆方程相减得出直线AB的方程，进而得出A，B两点坐标，根据余弦定理得出.

【详解】两圆方程相减得直线AB的方程为，由得出，即，，，，则.

故答案为：120°

16. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线E的两条渐近线的交点M､N位于y轴左侧，满足，，为坐标原点，则双曲线E的渐近线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据余弦定理求出，推出，在利用正切函数的二倍角公式列等量关系求解.

【详解】

由上图可知，，于是结合可求出

，在中，由余弦定理 ，于是，于是注意到，则，又，则

，下记，显然，于是，，由三角公式可得，，又，于是，解得，即，于是渐近线方程为.

故答案为：.

四、解答题

17. 已知圆C过点A（6，0），B（1，5）.

（1）求线段AB的垂直平分线所在的直线方程；

（2）若圆C的圆心在直线2x-7y+8=0上，求圆C的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由斜率的两点式求的斜率，并写出中点坐标，再根据两线垂直求中垂线斜率，应用点斜式写出直线方程即可.

（2）由（1）所得直线方程，联立题设直线求圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，进而写出圆的方程即可.

【详解】（1）∵线段的斜率，

∴的垂直平分线的斜率，

∵中点，即为点，

∴的垂直平分线的方程为，整理得.

（2）∵圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，

联立直线，解出，即圆心，

，

∴圆的方程为.

18. 已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．

（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．

（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．

【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；

（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.

【详解】（1）数列是等差数列，

证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，

所以，

又因为，

故，

而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，

而，，

所以.

19. 已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；

（2）根据直线斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.

【小问1详解】

不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：

解得：

则圆的方程为：

【小问2详解】

当直线斜率不存在时，则有：

故此时直线与圆相切，满足题意

当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为

直线的方程为：

则有：

解得： ，此时直线的方程为：

综上可得，直线的方程为：或

20. （1）已知曲线的方程为，判断曲线是什么曲线，并求其标准方程；

（2）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，求线段的长．

【答案】（1）答案见解析（2）.

【解析】

【分析】（1）设、、，分析可知点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线右支，设曲线的方程为，求出、的值，即可得出曲线的标准方程；

（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值.

【详解】解：（1）设、、，

因为，则，

点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支．

设曲线的方程为，

则，，则，

曲线的标准方程为；

（2）抛物线的焦点为，

直线的斜率为，则直线的方程为，

设点、，联立可得，，

由韦达定理可得，因此，.

21. 已知双曲线经过点（，1）

（1）求双曲线C的离心率；

（2）若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】（1）   

（2）证明见解析,定点为

【解析】

【分析】(1)根据双曲线经过点（，1）即可求解;(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可求解.

【小问1详解】

因为双曲线经过点（，1），

所以，解得或(舍)，

所以，

所以双曲线的离心率.

【小问2详解】

设，

由（1）知，双曲线，

联立 ，消整理得，

因为直线与双曲线C有两个交点，

所以，

即，

由韦达定理得，

，

由题可知双曲线C的左顶点,

因为以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，

所以即，

所以，

即，

整理得，

即，解得，或，

即，，

当时，直线方程为，当时，

即此时直线过定点为左顶点，不满足题意;

当时，直线方程为，当时，

即此时直线过定点，满足题意;

所以直线l过定点，该定点的坐标为．

22. 已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若B为椭圆C的上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解；

（2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解．

【小问1详解】

解：因为的周长为，所以，即，

又离心率，所以，，

所以，

故椭圆的方程为．

【小问2详解】

解：由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，，，

联立，得，

所以，，

因为点为，

所以直线的方程为，所以点，，

直线的方程为，所以点，，

所以，即为定值．