重庆市第十八中学校2021-2022学年高二数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第十八中学校2021-2022学年高二数学上学期期中考试试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了考试时间120分钟2， 圆与圆的位置关系是， 若椭圆的离心率为，则， 数学家华罗庚曾说， 若直线截圆等内容，欢迎下载使用。
重庆市第十八中学2021—2022学年（上）半期高二数学试题考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果.【详解】由题意可知，所以直线的斜率为，又，所以直线的倾斜角为.故选：A.2. 圆与圆的位置关系是（    ）A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】C【解析】【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，两圆圆心距为，所以，，因此，两圆相交.故选：C.3. 若椭圆的离心率为，则（    ）A.  B.  C.  D. 或【答案】D【解析】【分析】分类讨论，椭圆焦点分别在轴和轴两种情况，结合椭圆中的关系，求值【详解】当椭圆焦点在轴时，则: ，由于椭圆的离心率则，解的：= 当椭圆焦点在轴时，则: ,由于椭圆的离心率则，解的：=故选：D【点睛】考查学生椭圆的性质的理解，结合离心率求参数值4. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线和之间的距离为：，和之间的距离为：，于是有：，故选：B5. 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解.【详解】解：由题意，在长方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系由题知，，为的中点,则，，，所以，设直线与所成角为，则所以直线与所成角余弦值为.故选：B.6. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解【详解】表示动点到定点和的距离之和，因为点在直线上运动，作关于直线的对称点，则，故，当且仅当三点共线时取等，故的最小值为故选：A7. 若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，根据给定弦长可得m，n的关系等式，再借助“1”的妙用即可计算作答.【详解】圆：，则圆心，半径r=，而直线截圆所得弦长为，于得直线过圆心C，即，因此，，当且仅当时取“=”，由及解得，且，所以当且时，的最小值为.故选：B8. 定义两个向量的一种运算，则关于向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）A. B. 如果且，则C. D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，通过计算得到不会恒成立；对于B. 有可能等于零（此时），所以不恒成立；对于C， 通过计算得到不会恒成立；对于D，计算得到恒成立．【详解】对于A，，，，故不会恒成立；对于B. 如果且，则有可能等于零（此时），所以不恒成立；对于C，若，，，，，，，显然不会恒成立；对于D，，，，，即有．则恒成立．故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于空间向量，以下说法正确的是　　A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底D. 若，则，是钝角【答案】ABC【解析】【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B中，若对空间中任意一点O，有，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D中，若，又由，所以，所以不正确，故选∶ ABC.10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得C. 若，则 D. OP与AB的斜率满足【答案】BC【解析】【分析】对于A，由椭圆的方程求出，从而可求出，进而可求出离心率；对于B，设，表示出，由求出的值，则说明；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线为，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，从而可求出直线的斜率，进而可求得的值，进行判断【详解】解：对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；对于C，因为，,，所以，所以C正确；对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，故选：BC11. 设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（    ）A. 直线l过定点 B. 当取得最大值时，C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为6【答案】ACD【解析】【分析】对于A：整理得，由此可求得直线所过的定点；对于B：由直线l过定点，且定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，由此求得m的值；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，由余弦定理计算可判断；对于D：当共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断.【详解】解：对于A：由整理得，当，即时，不论为何值时，都成立，所以直线l过定点，故A正确；对于B：因为直线l过定点，将定点代入圆，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时，解得，故B不正确；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，而，所以，所以在中，，故C正确；对于D：，而表示在方向 上的投影，所以当共线，且方向相同时，取得最大值，此时，所以的最大值为6，故D正确，故选：ACD.12. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（    ）A. 存在点P，使面B. 二面角的平面角为60°C. 的最小值是D. P到平面的距离最大值是【答案】BD【解析】【分析】当与点重合时， 面，A正确，二面角的平面角为，B错误， ，C正确，当与点重合时，P到平面的距离，D错误，得到答案.【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，A正确；二面角即二面角，平面角为，B错误；如图所示：，当共线时等号成立，C正确；，得到平面，故，同理可得平面，设交平面于，则，当与点重合时，P到平面的距离，D错误.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置.13. 已知圆的方程为，过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为______.【答案】40【解析】【分析】由圆的性质可得最短的弦是以为中点的弦，过最长的弦为直径，求出两个弦长即可求出面积.【详解】圆的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，且由，知点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，过最长的弦为直径，所以，且，故.故答案为：40.14. 已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案.【详解】因为，所以令，则，所以的最大值为.故答案为：15. 窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先利用平面向量的线性运算，将、用向量和表示，整理成的形式，结合即可求解.【详解】正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为，，因为，即，所以，可得，故答案为：.16. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为______；若，则的最小值为______.【答案】    ①. 9    ②. 4【解析】【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式即可得到的最大值.根据题意得到，从而得到，从而得到答案.【详解】由可得：，，则，由椭圆定义可知，，当时取等号．.，又（当且仅当在线段上时取等号），.故答案为：9；4.【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解.四、解答题:请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程，共70分.17. 已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程【小问1详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为∴ ，且∴∵的顶点∴直线AC方程：，即与联立， ，解得：所以顶点C的坐标为【小问2详解】因为CM所在直线方程为故设点的坐标为因为是中点，所以因为在BH所在直线上所以，解得：所以点坐标为由第一问知：C的坐标为故直线BC的方程为，整理得：18. 已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆A的方程；(2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程．【答案】（1）（2）或【解析】【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且,所以圆的方程为 .     （2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且，在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得, ∴或 为所求方程.19. 如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点．N为上一点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，求出，，，点坐标，利用空间向量求出夹角；（2）利用求出点坐标，再利用三棱锥的体积计算公式计算即可.【详解】（1）以C为原点建系，CA，CB，为x，y，z轴，则，，，，，，，故异面直线与所成角的余弦值是；（2）设，则，，，，因为，所以，即，解得，故，，【点睛】本题主要考查了利用空间向量解决立体几何中夹角和垂直问题，属于一般题.注意，在建立空间直角坐标系时，尽量利用几何体中三垂直的角建系.20. 已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，求弦长．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由已知得，根据点线距离，令过的直线为，即得，即可求得椭圆的方程.（2）由直线与椭圆相交且中点，联立方程结合韦达定理可知求k值，即可求，再由求弦长．【详解】（1）由题意，有，令过的直线为，∴，可得，而，∴综上：，即椭圆的方程为.（2）由题意知：直线的斜率必存在，可令，若，∴联立椭圆与直线的方程得：，易知，∴，可得，所以， 【点睛】关键点点睛：（1）由点线距公式及椭圆参数关系求参数值，写出椭圆方程；（2）由直线与椭圆位置关系，以及已知条件并结合韦达定理、相交线公式求弦长即可.21. 如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D-AE-C的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，在根据面面垂直的性质定理，证得平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵ AD＝CD＝，O是AC的中点，∴ DO⊥AC．∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，∴ DO⊥底面ABC．（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．OA＝OC＝OD＝2， OB＝如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，，．设平面ADE的一个法向量为，则 即令，则，所以． 同理可得平面AEC的一个法向量．．因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为．【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22. 已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求实数m的值；（2）求△ABO(O为原点)面积的最大值．【答案】（1）2；    （2）﹒【解析】【分析】(1)根据已知条件得，，结合离心率，即可解得答案．(2)设直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案．【小问1详解】由题意可得，，，∵离心率，∴，∵，∴，解得．【小问2详解】由(1)知，椭圆，上焦点，设，，，，直线的方程为：，联立，得，∴，，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴为原点)面积的最大值为．