湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三数学上学期第三次月考试卷（Word版附解析）

永州一中高三第三次月考数学试卷

一、单选题

1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．

【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，

故选：C．

2．若，则z=（    ）

A．1–i B．1+i C．–i D．i

【答案】D

【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.

【详解】因为，所以.

故选：D

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.

3．若直线是圆的一条对称轴，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．

【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．

故选：A．

4．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）

（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，确定标准对数视力从下到上的项数，再利用等比数列计算作答.

【详解】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，

标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，

因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.

故选：D

5．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

6．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.

【详解】

由，可得

由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得

又在区间上是增函数，则，解之得

综上，的取值范围是

故选：B

7．若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.

【详解】设

切线：，即

切线：，即，

令

在上单调递增，在上单调递减，

所以

故选：A．

8．已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（    ）

A． B． C． D．以上选项均不正确

【答案】D

【分析】设切线方程为，代入双曲线方程后，方程应为一元二次方程，二次项系数不能为0，然后由判别式得关于的方程，此方程有两个不等的实根，由此可得的范围，从而求得的范围，注意满足二次项系数不为0的条件，即可得结论．

【详解】设切线方程是，

由得，

显然时，所得直线不是双曲线的切线，所以，

由得，整理为，

由题意此方程有两不等实根，

所以，，则（为双曲线的半焦距），，即，

代入方程，得，此时，

综上，的范围是．

故选：D．

二、多选题

9．已知向量，则下列命题正确的是（    ）

A．存在，使得 B．当时，与垂直

C．对任意，都有 D．当时，

【答案】BD

【分析】A选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，，故A错误；B选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C选项，计算出两向量的模长，得到，C错误；利用向量的数量积列出，平方后得到，求出正切值.

【详解】对于选项A：若，则，即，

所以不存在这样的，故A错误；

对于选项B：若，则，即，得，故B正确；

对于选项C：，当时，，

此时，故C错误；

对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，

即，所以，故D正确.

故选：BD.

10．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ）

A． B．事件A和事件B互为对立事件

C． D．事件A和事件B相互独立

【答案】ACD

【分析】求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D.

【详解】选项A：.判断正确；

选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，

则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；

选项C：，则.判断正确；

选项D：，又，,

则有成立，则事件A和事件B相互独立.判断正确.

故选：ACD

11．在正方体中，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，平面

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，的面积为定值

D．当时，直线与所成角的范围为

【答案】ABD

【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；

对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；

对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；

对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.

【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，

又平面，所以平面，

在正方体中，且，则四边形为平行四边形，

所以，，平面，平面，平面，

同理可证平面，

，所以，平面平面，

平面，所以，平面，A正确；

对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，

三棱锥的体积为定值，B正确；

对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，

则，其大小随着的变化而变化，C错误；

对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，

因为且,所以四边形为平行四边形，所以，

所以或其补角是直线与所成角，

在正中，的取值范围为，D正确.

故选：ABD.

12．已知函数恰有三个零点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】令转化为为（*）在上有两不等实根从而得出参数的范围，设函数在处的切线，记切线与的交点的横坐标分别为，又由可得，从而可判断选项C;由对数均值不等式可判断选项D.

【详解】由，则

可得时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增. 所以

令，则，当时，；当时，

则在上单调递增，在上单调递减. 所以

由题意即方程有三个实数根,  即有三个实数根

所以有两个实数根，即转化为（*）必有一个实根

判别式，有或，两根情况讨论如下：

①当时，从而将代入（*）式，得，又，有不符合题意，故舍去

②当，时，令

i)    当时，有，得，此时（*）式为，不符合题意

ii)    当时，则有 ，解得

综上知的取值范围为，故A错误，B正确.

由上知

考虑函数在处的切线，易证：

记切线与的交点的横坐标分别为，则，

又，则

同理，故，故选项C正确

对于选项D，，则有，即，故选项D正确

故选：BCD

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题. 解得本题的关键是先令，先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为（*）在和上各有一个实根，从而使得问题得以解决，属于难题.

三、填空题

13．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

14．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有_______种.

【答案】840

【分析】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，

此时空位一共还剩3个，再将这三个分成一组、两组、三组讨论，利用分类计数原理计算可得答案.

【详解】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，

此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放法；

若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有种放法；

若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有种放法，

故不同的就坐方法为种.

故答案为：840.

15．已知，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

16．在三棱锥中，顶点P在底面的投影为O，点O到侧面，侧面，侧面的距离均为d，若，．，且是锐角三角形，则三棱锥体积的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据点O到三个侧面的距离相等，从而得出点O到底面三条边的距离相等，从而得到，三棱锥的体积关于d的表达式，再通过底面三角形为锐角三角形，得到d的范围，即可得出三棱锥体积的范围.

【详解】解析：如图，过点O作于点D，连接．作于点E，则有，同理，点O到边的距离都为，所以

由可知，点C轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，如图，当是锐角三角形时，点C横坐标取值范围为，则，所以，

所以；

故答案为：

四、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.

（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.

【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法

由余弦定理得，所以.

由正弦定理得.

[方法二]【最优解】：几何法

过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．

在中，，因此．

（2）[方法一]：两角和的正弦公式法

由于，，所以.

由于，所以，所以.

所以

.

由于，所以.

所以.

[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

  在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．

又由（1）可得，所以．

[方法三]：几何法+正弦定理法

  在（1）的方法二中可得．

在中，，

所以．

在中，由正弦定理可得，

由此可得．

[方法四]：构造直角三角形法

  如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．

在（1）的方法二中可得．

由，可得．

在中，．

由（1）知，所以在中，，从而．

在中，．

所以．

【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.

18．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足 ，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出方程组，求得首项和公比，即得答案；

（2）根据，可得的表达式，结合等比数列的前n项和公式和裂项求和法，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得，故， ，

即；

（2）由已知，得n为奇数时，；

当n为偶数时，

，

则

．

19．如图，四面体ABCD中，，，E是AC的中点．

(1)当F在线段BD上移动时，判断AC与EF是否垂直，并说明理由；

(2)若，，试确定点F在线段BD上的位置，使CF与平面ABD所成角的正弦值为．

【答案】(1)，理由见解析；

(2)点F在线段BD上靠D点四等分点处．

【分析】（1）证明转化成证明平面DEB；

（2）先证得，从而建立以E为原点的空间坐标系，利用空间向量求解即可．

【详解】（1）证明：连接，如下图所示，

且E为AC中点，

，

在和中，

，

，

，

，

，平面DEB，

平面DEB，

又平面DEB，

．

（2）解：，

即，

为直角三角形，

又E是AC的中点，

∴ ，

结合（1）知：可建立E为原点，分别以、、方向为轴的空间坐标系，

则，，，

，

结合（1）知为等边三角形，

，

，

，

设，，

则，

，

，

，

，

设为平面ABD的法向量，

则，

即，

解得：，

，

，

即，

整理得，

解得，

所以点F在线段BD上靠D点四等分点处．

20．台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．

(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？

(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．

（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；

（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量的分布列．

【答案】(1)甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，详见解析；

(2)（i）；（ii）详见解析.

【分析】（1）根据题意分别计算不进入 50 海里及进入 50 海里时甲相对得分的期望值，进而即得；

（2）（i）根据对立事件概率公式及独立重复事件概率公式即得；（ii）由题可得的可能取值，然后分别计算概率，进而可得分布列.

【详解】（1）由题可知，若不进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.2 × 10 = 2，

若进入 50 海里，甲相对得分的期望为 0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (−6) = 2.2，

所以甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内；

（2）（i）因为每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5，

所以一架轰炸机被命中的概率为，

所以恰有一架轰炸机被命中的概率为；

（ii）由题可知的可能取值为 0,1,2,3,4，

因为，

，

，

，

.

所以的分布列为：

.

21．已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.

(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；

(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)见解析；

(2)存在，.

【分析】(1) 联立直线方程和椭圆方程得，由韦达定理可得的关系，再由计算即可得证；

(2)由题意可得直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程得，由韦达定理之间的关系，假设存在满足题意的点，设，由题意可得.代入计算，如果有解，则存在，否则不存在.

（1）

证明：因为，所以直线l：，

联立直线方程和椭圆方程： ，得，

设，

则有，

所以，

又因为，

所以，，

所以==

所以直线和的斜率之积为定值；

（2）

解：假设存在满足题意的点，设，

因为椭圆的右焦点，所以,即有，

所以直线的方程为.

由，可得，

设，

则有；

因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，

所以平分,

所以.

即==，

又因为，

所以，

代入，

即有，

解得.

故轴上存在定点，使得点到直线 的距离与点到直线的距离相等.

22．已知函数在处的切线过点，a为常数．

(1)求a的值；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）先对函数求导，然后求出和，再由题意可得，从而可求出a的值；

（2）根据题意将问题转化为，令，利用导数可得恒成立，令，再利用导数可得取得最小值0，从而可证得结论.

【详解】（1）由，得，

所以，，

因为在处的切线过点，

所以，

所以，解得，

（2）证明：要证，即证，

即证，

即证，

因为，

所以即证，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以恒成立，

令，则，

所以在递增，

所以当时，取得最小值0，

所以原不等式成立.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是根据题意将问题转化为，再次转化为，然后通过两次构造函数，利用导数可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.