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2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
2．（3分）把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）军运会射击运动中，运动员每次射击击中靶的环数为1到10，不考虑脱靶的情况下，下列事件为随机事件的是（ ）
A．某运动员两次射击总环数大于1
B．某运动员两次射击总环数等于1
C．某运动员两次射击总环数大于20
D．某运动员两次射击总环数等于20
4．（3分）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36
C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
13．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 %．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是 ．
15．（3分）已知一个圆心角为270°的扇形工件，没搬动前如图所示，A、B两点触地放置，滚动至点B再次触地时停止，扇形工件直径为5m，则圆心O所经过的路线长是 m．
16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①；②若点P（﹣2﹣t2，y1）和Q（t2+3，y2）是该抛物线上的两点，则y1＞y2；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是 （填序号即可）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．
18．（8分）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．
19．（8分）一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率．
（2）随机摸出一个小球然后不放回，则两次摸出的小球标号之和为 的概率最大，这个最大概率是 ．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是▱ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；
（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过点C作CH⊥AB于H；
（3）如图3，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，点C在⊙O外，过点C作CG∥DE交AB于G；
（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连接DP并延长交AB于点E．
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）求的值．
22．（10分）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：
时间t（天）
1
3
5
10
36
…
日销售量m（kg）
94
90
86
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？
23．（10分）【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF、BE、DF之间的数量关系是EF＝BE+DF，
【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D＝180°，求证：EF＝BE+DF．
【联系拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系是 ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（A在B的左边），与y轴交于C，且OB＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝x交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线DE下方，若以F为圆心作⊙F，当⊙F与直线DE相切时，求⊙F最大半径r及此时F坐标；
（3）如图2，M是抛物线上一点，连接AM交y轴于G，作AM关于x轴对称的直线交抛物线于N，连接AN、MN，点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、n．求t，n的数量关系．
2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：一次项系数为﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
3．（3分）军运会射击运动中，运动员每次射击击中靶的环数为1到10，不考虑脱靶的情况下，下列事件为随机事件的是（ ）
A．某运动员两次射击总环数大于1
B．某运动员两次射击总环数等于1
C．某运动员两次射击总环数大于20
D．某运动员两次射击总环数等于20
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、某运动员两次射击总环数大于1，是必然事件，不合题意；
B、某运动员两次射击总环数等于1，是不可能事件，不合题意；
C、某运动员两次射击总环数大于20，是不可能事件，不合题意；
D、某运动员两次射击总环数等于20，是随机事件．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（3分）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：＝4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36
C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
移项，得x2﹣6x＝4，
配方，得（x﹣3）2＝4+9．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【分析】利用二次函数的图象的性质．
【解答】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．
故选：C．
【点评】讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代换得到AD＝DE，即△AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长，再根据矩形和三角形的面积公式求出矩形ABCD的面积和△ADE的面积，即可得到四边形ABCE的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝90°，
由旋转得：BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴AD＝DE＝2，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝＝2，
则AB＝AE＝2，
∴四边形ABCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADE的面积＝AB•AD﹣AD•DE＝4﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
8．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．
【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：
∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：＝，
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
9．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF＝a﹣0.5a＝0.5a，再由切割线定理可得BF2＝BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE＝OH，利用相似三角形的性质即可求出BH＝BD，最终由CD＝BC+BD，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D
∴连接OE、OF，由切线的性质可得OE＝OF＝⊙O的半径，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°
∴OECF是正方形
∵由△ABC的面积可知×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF
∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC﹣CF＝0.5a，GH＝2OE＝a
∵由切割线定理可得BF2＝BH•BG
∴a2＝BH（BH+a）
∴BH＝或BH＝（舍去）
∵OE∥DB，OE＝OH
∴△OEH∽△BDH
∴
∴BH＝BD，CD＝BC+BD＝a+．
故选：B．
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．
10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】由题意可得a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，则有a+b＝2，又由a2＝2a+2021，将所求式子变形为a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3，然后再求值即可．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上，
∴a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，
∴a+b＝2，
∵将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2022，
∴a2﹣2a﹣2022＝﹣1，
∴a2＝2a+2021，
∴a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3＝2（a+b）+2018＝4+2018＝2022，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
【分析】用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，
所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝某事件对应的面积与总面积之比．
13．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 10 %．
【分析】设平均每年下降的百分率是x，降尘量经过两年从50吨下降到40.5吨，所以可以得到方程50（1﹣x）2＝40.5，解方程即可求解．
【解答】解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意得50（1﹣x）2＝40.5
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）
所以平均每年下降的百分率是10%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是 48°或132° ．
【分析】连接DG，先由BC与⊙A相切于点D，证明∠ADB＝∠ADC＝90°，再证明△ADG是等边三角形，则∠DAG＝60°，由∠ADE＝∠AED＝90°﹣18°＝72°得∠CAE＝36°，于是∠GAE＝60°+36°＝96°，当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝48°；当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝132°．
【解答】解：如图，连接DG，
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴BG＝AG＝3，
∴DG＝AB＝AG＝AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠CDE＝18°，
∴∠AED＝∠ADE＝90°﹣18°＝72°，
∴∠CAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠GAE＝60°+36°＝96°，
当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝×96°＝48°；
当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝180°﹣48°＝132°，
故答案为：48°或132°．
【点评】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．（3分）已知一个圆心角为270°的扇形工件，没搬动前如图所示，A、B两点触地放置，滚动至点B再次触地时停止，扇形工件直径为5m，则圆心O所经过的路线长是 5π m．
【分析】根据图形运动方式可知，点O经过的路线有两次旋转45°的弧，中间是平移．
【解答】解：∵∠AOB＝360°﹣270°＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∴圆心O旋转的长度为2×＝（m），
圆心O移动的距离为＝（m），
∴圆心O所经过的路线长是（m），
故答案为：5π．
【点评】本题主要考查了图形的运动，弧长公式等知识，正确理解点O经过的路线是解题的关键．
16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①；②若点P（﹣2﹣t2，y1）和Q（t2+3，y2）是该抛物线上的两点，则y1＞y2；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是 ②③ （填序号即可）．
【分析】由图可得a＜0，b＝2a＜0，c＞0；图象与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0；将（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得c＝﹣3a，所以y＝ax2+2ax﹣3a；再分别对每个选项进行验证即可．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴，故①不正确；
∵﹣1﹣（﹣2﹣t2）＝1+t2，t2+3+1＝t2+4，
∴t2+4＞1+t2，
∴y1＞y2，故②正确；
∵函数经过（1，0），
∴a+b+c＝0，即a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴cx2+bx+a＜0可化为﹣3ax2+2ax+a＜0，
∴﹣3x2+2x+1＞0，解得﹣＜x＜1，
故③正确；
过点C作CM垂直对称轴交于点M，
设BN＝m，则BM＝﹣3a﹣m，
当∠ABC＝90°时，∠BAN＝∠CBM，
∴＝，
∴m2+3am+2＝0，
∵Δ＝9a2﹣8≥0时，m存在，
∴当a≤﹣时，∠ABC＝90°，
∴在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
故④不正确；
故答案为：②③．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．
【分析】把x＝1代入方程计算求出b的值，进而求出另一根即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，
∴1﹣b+2＝0，
解得：b＝3，
把b＝3代入方程得：x2﹣3x+2＝0，
设另一根为m，可得1+m＝3，
解得：m＝2，
则b的值为3，方程另一根为x＝2．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
18．（8分）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．
【分析】由旋转的性质可得AO＝CO，可得∠A＝∠ACO，由平行线的性质和邻补角的性质可得结论．
【解答】证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，
∴AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB∥DE，
∴∠A+∠E＝180°，
又∵∠ACO+∠BCO＝180°，
∴∠BCO＝∠E．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．（8分）一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率．
（2）随机摸出一个小球然后不放回，则两次摸出的小球标号之和为 5 的概率最大，这个最大概率是 ．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到标号之和出现次数最多的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
由表可知，共有16种等可能结果，其中第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的有8种结果，
∴第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率为＝；
（2）列表如下：
1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
5
6
3
4
5
7
4
5
6
7
由表知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的次数最多，有4次，
所以两次摸出的小球标号之和为5的概率最大，最大概率为＝，
故答案为：5、．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是▱ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；
（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过点C作CH⊥AB于H；
（3）如图3，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，点C在⊙O外，过点C作CG∥DE交AB于G；
（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，点F即为所求；
（2）取格点E，F，连接EF交AB于点H，连接CH，线段CH即为所求；
（3）连接CE交AB于点R，交⊙O于点T，连接DT，CB交于点J，连接DR，延长DR交⊙O于W，连接JW交AB于点K，连接TK，延长TK交⊙O于点L，连接BL，延长BL，DW交于点C′，连接CC′交AB于点G，直线CG即为所求．
（4）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点F，连接BF交AC于点J，连接DJ，延长DJ交AB于点K，连接KF，延长KF交CD的延长线于点G，连接AG，△ADG即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点F即为所求；
（2）如图2中，线段CH即为所求；
（3）如图3中，直线CG即为所求；
（4）如图4中，△ADG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连接DP并延长交AB于点E．
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）求的值．
【分析】（1）根据SSS证得△ODP≌△ODC，从而证得∠OPD＝∠OCD＝90°，即可证得结论；
（2）根据切线定理和勾股定理得到AB＝3EB，即可证得AE＝3EB，从而求得＝3．
【解答】（1）证明：连接OP，OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴OP＝OC，
∵以点D为圆心、DA为半径作圆弧，
∴PD＝CD，
在△ODP和△ODC中，
，
∴△ODP≌△ODC（SSS），
∴∠OPD＝∠OCD＝90°，
∵P点在⊙O上，
∴DE为半圆O的切线；
（2）解：∵以点O为圆心、OB为半径作圆弧，四边形ABCD是正方形，
∴EB是⊙O的切线，
∵DE为半圆O的切线，
∴EB＝EP，
设正方形的边长为a，EB＝EP＝x，
∴AE＝a﹣x，DE＝a+x，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴a2+（a﹣x）2＝（a+x）2，
解得x＝，
∴BE＝，
∴AE＝3EB，
∴＝3．
【点评】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切割线定理，切线长定理，解题时注意切割线定理的运用．
22．（10分）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：
时间t（天）
1
3
5
10
36
…
日销售量m（kg）
94
90
86
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？
【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围，确定a的值，算出总的销量可得答案．
【解答】解：（1）设一次函数为m＝kt+b，
将和代入一次函数m＝kt+b中，
有，
∴．
∴m＝﹣2t+96．
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，
故所求函数解析式为m＝﹣2t+96；
（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．
由p1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）
＝（﹣2t+96）（t+5）
＝﹣t2+14t+480
＝﹣（t﹣14）2+578，
∵1≤t≤20，
∴当t＝14时，p1有最大值578（元）．
由p2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）
＝（﹣2t+96）（﹣t+20）
＝t2﹣88t+1920
＝（t﹣44）2﹣16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，
∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t＝21时，p2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；
（3）p1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20﹣a）＝﹣t2+（14+2a）t+480﹣96a
对称轴为t＝14+2a．
∵1≤t≤20，
∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大，
又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，
∴19.5＜2a+14，
∴2.75＜a＜4．
又∵a为整数，
∴a＝3，
20天的总销量＝（﹣2×1+96）+（﹣2×2+96）+...+（﹣2×20+96）＝﹣2×（1+2+...+20）+96×20＝﹣2×+1920＝﹣420+1920＝1500，
∴小陈共捐赠给贫困户＝1500×3＝4500元．
答：前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户4500元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
23．（10分）【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF、BE、DF之间的数量关系是EF＝BE+DF，
【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D＝180°，求证：EF＝BE+DF．
【联系拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系是 DE2＝BD2+EC2 ．
【分析】【问题背景】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，证明△AFG≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
【迁移应用】把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，证明△AFG≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
【联系拓展】仍然用（1）中的方法，将BD、DE、EC转化为同一直角三角形的三条边，即可得到所猜想的结论．
【解答】【问题背景】证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，AG＝AE，
∵∠ADG＝∠B＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴点F、D、G在同一条直线上；
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
【迁移应用】证明：如图2，由题意得，AB＝AD，∠BAD＝90°，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，
∴点F、D、G在同一条直线上；
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
【联系拓展】DE2＝BD2+EC2，
证明：如图3，由题意得，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°；
把△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACG，则∠CAG＝∠BAD，∠ACG＝∠B＝45°，AG＝AD，CG＝BD，
∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝90°；
∵∠DAE＝45°，
∵∠GAE＝∠CAG+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AED（SAS），
∴GE＝DE，
∵GE2＝CG2+EC2，
∴DE2＝BD2+EC2．
故答案为：DE2＝BD2+EC2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（A在B的左边），与y轴交于C，且OB＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝x交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线DE下方，若以F为圆心作⊙F，当⊙F与直线DE相切时，求⊙F最大半径r及此时F坐标；
（3）如图2，M是抛物线上一点，连接AM交y轴于G，作AM关于x轴对称的直线交抛物线于N，连接AN、MN，点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、n．求t，n的数量关系．
【分析】（1）根据题意，即可求出点B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入解析式中即可求出结论；
（2）联立方程即可求出D、E坐标，从而求出DE，设⊙F与DE相切于H，连接FH，FD，FE，过点F作FG⊥x轴交DE于G，设点F的坐标为（x，x2﹣3x﹣4），由DE为定值，S△DEF＝DE•FH可知：
当△DEF的面积最大时，FH最大，即r最大，利用“铅垂高，水平宽”求出△DEF的面积的最大值，即可求出r的最大值和此时点F的坐标；
（3）设AN与y轴交于点P，利用待定系数法求出直线AM和AN的解析式，联立方程即可求出点M和点N的坐标，再根据中点公式即可求出结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OB＝4OA＝4，
∴B（4，0），
将点A、点B的坐标代入y＝x2+bx+c，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）联立，解得或，
∴D（2﹣2，2﹣2），E（2+2，2+2），
∴DE＝8，
设⊙F与DE相切于H，连接FH，FD，FE，过点F作FG⊥x轴交DE于G，设点F的坐标为（x，x2﹣3x﹣4），
∴FH⊥DE，G（x，x），
∴FG＝x﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x+4，
∵DE为定值，S△DEF＝DE•FH＝4FH，
∴当△DEF的面积最大时，FH最大，即r最大，
而S△DEF＝FG（xE﹣xD）
＝（﹣x2+4x+4）[（2+2）﹣（2﹣2）]
＝﹣2（x﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴当x＝2时，S△DEF最大，其最大值为16，
此时FH＝4，点F的坐标为（2，﹣6）；
（3）设AN与y轴交于点P，
由题意可知，点G的坐标为（0，t），
由对称的性质可知，点P的坐标为（0，﹣t），
设直线AM的解析式为：y＝kx+a，
将A、G的坐标代入，得，
解得，
∴直线AM的解析为：y＝tx+t，
同理可求得，直线AN的解析式为：y＝﹣tx﹣t，
联立，解得或，
∴点M的坐标为（4+t，t2+5t），
同理可得点N的坐标为（4﹣t，t2﹣5t），
∴点K的纵坐标为n＝＝t2，
即n＝t2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数表达式，圆的切线的性质与判定，三角形的面积，中点坐标公式等知识，关键（2）熟练掌握三角形面积的不同求解方法；（3）待定系数法求解析式的熟练应用．
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2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
2．（3分）把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）军运会射击运动中，运动员每次射击击中靶的环数为1到10，不考虑脱靶的情况下，下列事件为随机事件的是（ ）
A．某运动员两次射击总环数大于1
B．某运动员两次射击总环数等于1
C．某运动员两次射击总环数大于20
D．某运动员两次射击总环数等于20
4．（3分）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36
C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
13．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 %．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是 ．
15．（3分）已知一个圆心角为270°的扇形工件，没搬动前如图所示，A、B两点触地放置，滚动至点B再次触地时停止，扇形工件直径为5m，则圆心O所经过的路线长是 m．
16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①；②若点P（﹣2﹣t2，y1）和Q（t2+3，y2）是该抛物线上的两点，则y1＞y2；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是 （填序号即可）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．
18．（8分）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．
19．（8分）一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率．
（2）随机摸出一个小球然后不放回，则两次摸出的小球标号之和为 的概率最大，这个最大概率是 ．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是▱ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；
（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过点C作CH⊥AB于H；
（3）如图3，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，点C在⊙O外，过点C作CG∥DE交AB于G；
（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连接DP并延长交AB于点E．
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）求的值．
22．（10分）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：
时间t（天）
1
3
5
10
36
…
日销售量m（kg）
94
90
86
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？
23．（10分）【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF、BE、DF之间的数量关系是EF＝BE+DF，
【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D＝180°，求证：EF＝BE+DF．
【联系拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系是 ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（A在B的左边），与y轴交于C，且OB＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝x交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线DE下方，若以F为圆心作⊙F，当⊙F与直线DE相切时，求⊙F最大半径r及此时F坐标；
（3）如图2，M是抛物线上一点，连接AM交y轴于G，作AM关于x轴对称的直线交抛物线于N，连接AN、MN，点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、n．求t，n的数量关系．
2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：一次项系数为﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
3．（3分）军运会射击运动中，运动员每次射击击中靶的环数为1到10，不考虑脱靶的情况下，下列事件为随机事件的是（ ）
A．某运动员两次射击总环数大于1
B．某运动员两次射击总环数等于1
C．某运动员两次射击总环数大于20
D．某运动员两次射击总环数等于20
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、某运动员两次射击总环数大于1，是必然事件，不合题意；
B、某运动员两次射击总环数等于1，是不可能事件，不合题意；
C、某运动员两次射击总环数大于20，是不可能事件，不合题意；
D、某运动员两次射击总环数等于20，是随机事件．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（3分）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：＝4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36
C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
移项，得x2﹣6x＝4，
配方，得（x﹣3）2＝4+9．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．
6．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【分析】利用二次函数的图象的性质．
【解答】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．
故选：C．
【点评】讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代换得到AD＝DE，即△AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长，再根据矩形和三角形的面积公式求出矩形ABCD的面积和△ADE的面积，即可得到四边形ABCE的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝90°，
由旋转得：BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴AD＝DE＝2，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝＝2，
则AB＝AE＝2，
∴四边形ABCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADE的面积＝AB•AD﹣AD•DE＝4﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
8．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．
【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：
∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：＝，
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
9．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF＝a﹣0.5a＝0.5a，再由切割线定理可得BF2＝BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE＝OH，利用相似三角形的性质即可求出BH＝BD，最终由CD＝BC+BD，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D
∴连接OE、OF，由切线的性质可得OE＝OF＝⊙O的半径，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°
∴OECF是正方形
∵由△ABC的面积可知×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF
∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC﹣CF＝0.5a，GH＝2OE＝a
∵由切割线定理可得BF2＝BH•BG
∴a2＝BH（BH+a）
∴BH＝或BH＝（舍去）
∵OE∥DB，OE＝OH
∴△OEH∽△BDH
∴
∴BH＝BD，CD＝BC+BD＝a+．
故选：B．
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．
10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】由题意可得a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，则有a+b＝2，又由a2＝2a+2021，将所求式子变形为a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3，然后再求值即可．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上，
∴a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，
∴a+b＝2，
∵将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2022，
∴a2﹣2a﹣2022＝﹣1，
∴a2＝2a+2021，
∴a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3＝2（a+b）+2018＝4+2018＝2022，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
【分析】用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，
所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝某事件对应的面积与总面积之比．
13．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 10 %．
【分析】设平均每年下降的百分率是x，降尘量经过两年从50吨下降到40.5吨，所以可以得到方程50（1﹣x）2＝40.5，解方程即可求解．
【解答】解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意得50（1﹣x）2＝40.5
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）
所以平均每年下降的百分率是10%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是 48°或132° ．
【分析】连接DG，先由BC与⊙A相切于点D，证明∠ADB＝∠ADC＝90°，再证明△ADG是等边三角形，则∠DAG＝60°，由∠ADE＝∠AED＝90°﹣18°＝72°得∠CAE＝36°，于是∠GAE＝60°+36°＝96°，当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝48°；当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝132°．
【解答】解：如图，连接DG，
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴BG＝AG＝3，
∴DG＝AB＝AG＝AD，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠CDE＝18°，
∴∠AED＝∠ADE＝90°﹣18°＝72°，
∴∠CAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠GAE＝60°+36°＝96°，
当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝×96°＝48°；
当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝180°﹣48°＝132°，
故答案为：48°或132°．
【点评】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．（3分）已知一个圆心角为270°的扇形工件，没搬动前如图所示，A、B两点触地放置，滚动至点B再次触地时停止，扇形工件直径为5m，则圆心O所经过的路线长是 5π m．
【分析】根据图形运动方式可知，点O经过的路线有两次旋转45°的弧，中间是平移．
【解答】解：∵∠AOB＝360°﹣270°＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∴圆心O旋转的长度为2×＝（m），
圆心O移动的距离为＝（m），
∴圆心O所经过的路线长是（m），
故答案为：5π．
【点评】本题主要考查了图形的运动，弧长公式等知识，正确理解点O经过的路线是解题的关键．
16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①；②若点P（﹣2﹣t2，y1）和Q（t2+3，y2）是该抛物线上的两点，则y1＞y2；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是 ②③ （填序号即可）．
【分析】由图可得a＜0，b＝2a＜0，c＞0；图象与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0；将（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得c＝﹣3a，所以y＝ax2+2ax﹣3a；再分别对每个选项进行验证即可．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴，故①不正确；
∵﹣1﹣（﹣2﹣t2）＝1+t2，t2+3+1＝t2+4，
∴t2+4＞1+t2，
∴y1＞y2，故②正确；
∵函数经过（1，0），
∴a+b+c＝0，即a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴cx2+bx+a＜0可化为﹣3ax2+2ax+a＜0，
∴﹣3x2+2x+1＞0，解得﹣＜x＜1，
故③正确；
过点C作CM垂直对称轴交于点M，
设BN＝m，则BM＝﹣3a﹣m，
当∠ABC＝90°时，∠BAN＝∠CBM，
∴＝，
∴m2+3am+2＝0，
∵Δ＝9a2﹣8≥0时，m存在，
∴当a≤﹣时，∠ABC＝90°，
∴在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
故④不正确；
故答案为：②③．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．
【分析】把x＝1代入方程计算求出b的值，进而求出另一根即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，
∴1﹣b+2＝0，
解得：b＝3，
把b＝3代入方程得：x2﹣3x+2＝0，
设另一根为m，可得1+m＝3，
解得：m＝2，
则b的值为3，方程另一根为x＝2．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
18．（8分）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．
【分析】由旋转的性质可得AO＝CO，可得∠A＝∠ACO，由平行线的性质和邻补角的性质可得结论．
【解答】证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，
∴AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB∥DE，
∴∠A+∠E＝180°，
又∵∠ACO+∠BCO＝180°，
∴∠BCO＝∠E．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．（8分）一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率．
（2）随机摸出一个小球然后不放回，则两次摸出的小球标号之和为 5 的概率最大，这个最大概率是 ．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到标号之和出现次数最多的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
由表可知，共有16种等可能结果，其中第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的有8种结果，
∴第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率为＝；
（2）列表如下：
1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
5
6
3
4
5
7
4
5
6
7
由表知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的次数最多，有4次，
所以两次摸出的小球标号之和为5的概率最大，最大概率为＝，
故答案为：5、．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是▱ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；
（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过点C作CH⊥AB于H；
（3）如图3，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，点C在⊙O外，过点C作CG∥DE交AB于G；
（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，点F即为所求；
（2）取格点E，F，连接EF交AB于点H，连接CH，线段CH即为所求；
（3）连接CE交AB于点R，交⊙O于点T，连接DT，CB交于点J，连接DR，延长DR交⊙O于W，连接JW交AB于点K，连接TK，延长TK交⊙O于点L，连接BL，延长BL，DW交于点C′，连接CC′交AB于点G，直线CG即为所求．
（4）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点F，连接BF交AC于点J，连接DJ，延长DJ交AB于点K，连接KF，延长KF交CD的延长线于点G，连接AG，△ADG即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点F即为所求；
（2）如图2中，线段CH即为所求；
（3）如图3中，直线CG即为所求；
（4）如图4中，△ADG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连接DP并延长交AB于点E．
（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）求的值．
【分析】（1）根据SSS证得△ODP≌△ODC，从而证得∠OPD＝∠OCD＝90°，即可证得结论；
（2）根据切线定理和勾股定理得到AB＝3EB，即可证得AE＝3EB，从而求得＝3．
【解答】（1）证明：连接OP，OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴OP＝OC，
∵以点D为圆心、DA为半径作圆弧，
∴PD＝CD，
在△ODP和△ODC中，
，
∴△ODP≌△ODC（SSS），
∴∠OPD＝∠OCD＝90°，
∵P点在⊙O上，
∴DE为半圆O的切线；
（2）解：∵以点O为圆心、OB为半径作圆弧，四边形ABCD是正方形，
∴EB是⊙O的切线，
∵DE为半圆O的切线，
∴EB＝EP，
设正方形的边长为a，EB＝EP＝x，
∴AE＝a﹣x，DE＝a+x，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴a2+（a﹣x）2＝（a+x）2，
解得x＝，
∴BE＝，
∴AE＝3EB，
∴＝3．
【点评】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切割线定理，切线长定理，解题时注意切割线定理的运用．
22．（10分）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：
时间t（天）
1
3
5
10
36
…
日销售量m（kg）
94
90
86
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？
【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围，确定a的值，算出总的销量可得答案．
【解答】解：（1）设一次函数为m＝kt+b，
将和代入一次函数m＝kt+b中，
有，
∴．
∴m＝﹣2t+96．
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，
故所求函数解析式为m＝﹣2t+96；
（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．
由p1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）
＝（﹣2t+96）（t+5）
＝﹣t2+14t+480
＝﹣（t﹣14）2+578，
∵1≤t≤20，
∴当t＝14时，p1有最大值578（元）．
由p2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）
＝（﹣2t+96）（﹣t+20）
＝t2﹣88t+1920
＝（t﹣44）2﹣16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，
∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t＝21时，p2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；
（3）p1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20﹣a）＝﹣t2+（14+2a）t+480﹣96a
对称轴为t＝14+2a．
∵1≤t≤20，
∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大，
又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，
∴19.5＜2a+14，
∴2.75＜a＜4．
又∵a为整数，
∴a＝3，
20天的总销量＝（﹣2×1+96）+（﹣2×2+96）+...+（﹣2×20+96）＝﹣2×（1+2+...+20）+96×20＝﹣2×+1920＝﹣420+1920＝1500，
∴小陈共捐赠给贫困户＝1500×3＝4500元．
答：前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户4500元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
23．（10分）【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF、BE、DF之间的数量关系是EF＝BE+DF，
【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D＝180°，求证：EF＝BE+DF．
【联系拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系是 DE2＝BD2+EC2 ．
【分析】【问题背景】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，证明△AFG≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
【迁移应用】把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，证明△AFG≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
【联系拓展】仍然用（1）中的方法，将BD、DE、EC转化为同一直角三角形的三条边，即可得到所猜想的结论．
【解答】【问题背景】证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，AG＝AE，
∵∠ADG＝∠B＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴点F、D、G在同一条直线上；
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
【迁移应用】证明：如图2，由题意得，AB＝AD，∠BAD＝90°，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，
∴点F、D、G在同一条直线上；
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
【联系拓展】DE2＝BD2+EC2，
证明：如图3，由题意得，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°；
把△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACG，则∠CAG＝∠BAD，∠ACG＝∠B＝45°，AG＝AD，CG＝BD，
∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝90°；
∵∠DAE＝45°，
∵∠GAE＝∠CAG+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AED（SAS），
∴GE＝DE，
∵GE2＝CG2+EC2，
∴DE2＝BD2+EC2．
故答案为：DE2＝BD2+EC2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（A在B的左边），与y轴交于C，且OB＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝x交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线DE下方，若以F为圆心作⊙F，当⊙F与直线DE相切时，求⊙F最大半径r及此时F坐标；
（3）如图2，M是抛物线上一点，连接AM交y轴于G，作AM关于x轴对称的直线交抛物线于N，连接AN、MN，点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、n．求t，n的数量关系．
【分析】（1）根据题意，即可求出点B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入解析式中即可求出结论；
（2）联立方程即可求出D、E坐标，从而求出DE，设⊙F与DE相切于H，连接FH，FD，FE，过点F作FG⊥x轴交DE于G，设点F的坐标为（x，x2﹣3x﹣4），由DE为定值，S△DEF＝DE•FH可知：
当△DEF的面积最大时，FH最大，即r最大，利用“铅垂高，水平宽”求出△DEF的面积的最大值，即可求出r的最大值和此时点F的坐标；
（3）设AN与y轴交于点P，利用待定系数法求出直线AM和AN的解析式，联立方程即可求出点M和点N的坐标，再根据中点公式即可求出结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OB＝4OA＝4，
∴B（4，0），
将点A、点B的坐标代入y＝x2+bx+c，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）联立，解得或，
∴D（2﹣2，2﹣2），E（2+2，2+2），
∴DE＝8，
设⊙F与DE相切于H，连接FH，FD，FE，过点F作FG⊥x轴交DE于G，设点F的坐标为（x，x2﹣3x﹣4），
∴FH⊥DE，G（x，x），
∴FG＝x﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x+4，
∵DE为定值，S△DEF＝DE•FH＝4FH，
∴当△DEF的面积最大时，FH最大，即r最大，
而S△DEF＝FG（xE﹣xD）
＝（﹣x2+4x+4）[（2+2）﹣（2﹣2）]
＝﹣2（x﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴当x＝2时，S△DEF最大，其最大值为16，
此时FH＝4，点F的坐标为（2，﹣6）；
（3）设AN与y轴交于点P，
由题意可知，点G的坐标为（0，t），
由对称的性质可知，点P的坐标为（0，﹣t），
设直线AM的解析式为：y＝kx+a，
将A、G的坐标代入，得，
解得，
∴直线AM的解析为：y＝tx+t，
同理可求得，直线AN的解析式为：y＝﹣tx﹣t，
联立，解得或，
∴点M的坐标为（4+t，t2+5t），
同理可得点N的坐标为（4﹣t，t2﹣5t），
∴点K的纵坐标为n＝＝t2，
即n＝t2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数表达式，圆的切线的性质与判定，三角形的面积，中点坐标公式等知识，关键（2）熟练掌握三角形面积的不同求解方法；（3）待定系数法求解析式的熟练应用．
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