北师大版 初中数学 九年级上册 第四章 图形的相似【过关测试】

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第四章 图形的相似
过关测试
【知识梳理】
知识点1：相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.

当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
知识点2：平行线分线段成比例
1比例性质：
①；②（其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：

3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质：．
5等比性质：如果，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点3：相似三角形
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
知识点4：位似
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质：位似形的有关性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比；此时，把这个点叫做位似中心.这时的相似比叫做位似比。

知识点5：相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
知识点6：相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点7：平行线型
平行型：（A型、X型）

（1）如图1所示，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，可以得到的比例线段主要有AD：AB＝AE：AC＝DE：BC; AD：BD＝AE：EC．
（2）如图2所示，线段AB∥线段CD，且AD、BC交于点E，则△ABE∽△DCE，可以得到的比例线段主要有AB：CD＝AE：DE＝BE：EC．

知识点8：垂直型

如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形，这时候△ABC与这两个三角形都是相似的.
知识点9：斜交型（反A）

如图3中的△ADE和△ACB，图4中的△ACD和△ABC，都有一个公共角相等，只需要知道另一对角相等，就可得到相似，这样的相似属于反A共角形相似．

对于平行中的八字形也有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似
知识点10：旋转型
如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，则△ACD∽△BEC；如图2，∠A＝∠B＝∠DCE，
则ACD∽△BEC；图1、图2这样的相似模型叫做“K”型

由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示




【过关练习】
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题
1．已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
2．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB＝3OB'，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：9
【答案】D
3．如图，在中，若，则（ ）

A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】D
4．如图，在中，，，若，则（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
5．如图，正五边形ABCDE与是位似图形，O是位似中心，若正五边形与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，且正五边形ABCDE的周长为9，则正五边形的周长是为（ ）

A．18 B．27 C．36 D．9
【答案】A
6．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C ′O的值为（ ）

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3
【答案】A

7．如图，在中，，，分别是边和上的点，且，若，则的长为（ ）

A． B．3 C． D．4
【答案】C
8．如图，在中，，，延长到点，使，若是的中点，则的长为（ ）

A． B． C． D．１
【答案】D
9．如图，在菱形中，若分别交于点E，F，，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
10．如图，在中，点、分别是、边上的中点，、相交于点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
11．如图，ABC中，∠C＝90°，M是BC边上一点，过M作MNAB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，MC＝2，NC＝2，则AC＝（ ）

A．2 B． C．2+ D．+
【答案】C
12．如图，正方形的边，对角线和交于点，是边上靠近点的三等分点，连接，，分别交，于点，，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
解：四边形是正方形，且正方形的边长为3，
，， ，
是边上靠近点的三等分点，
，，
，
，
，

，且，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，，
，
， ，
，故②正确；
在中，，故③正确；
，
，
，
，且 ，
，
，故④正确；
故选：．
二、填空题
13．与相似，且与的相似比是，已知的面积是5，则的面积是___________．
【答案】20
14．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（6，3），B（6，6），以点O为位似中心，在第一象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，点C在线段OA上，则点C的坐标为___．

【答案】（2，1）
15．如图，，若，则__________ ．

【答案】6
16．如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________．

【答案】10
17．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，把按相似比缩小，则点的对应点的坐标是__________．
【答案】或
18．如图，点E是▱ABCD边AD的中点，连接AC、BE交于点P，过点P作PQAD交CD于点Q，若AB＝3，则DQ＝___．

【答案】1
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为___．

【答案】
20．如图，和为四边形的对角线，，，，，则的最大值为____________．

【答案】
解：取的中点为，连接，作，使，，连接，过点作于，

∵，
∴，
∵，
∴点与重合，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，过点作于，
∵，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为：，
故答案为：．
21．如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E在边AB上）．
（1）当点D为BC的中点时，AE：EB＝________；
（2）当点D为BC的三等分点时，AE：EB＝________．

解：（1）如图，连接AD，
∵D为BC的中点，△ABC为等边三角形，折叠，
∴AD⊥BC，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠B＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣30°＝60°＝∠B，
∴△BED为等边三角形，
∴AE＝ED＝BE，即AE：EB＝1：1，
故答案为：1：1；

（2）当DC：BD＝1：2时，
设CD＝k，BD＝2k，
∴AB＝AC＝3k，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EDF＝∠A＝60°，
∴∠EDB+∠FDC＝∠BED+∠EDB＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BED∽△CDF，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴AE＝，
∴AE：BE＝7：5，
当DC：BD＝2：1时，
设CD＝2k，BD＝k，
同上一种情况得：，
∴
∴BE＝，
∴AE＝，
∴AE：BE＝7：8，
故答案为：7：5或7：8．

22．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，点M为线段上一动点，过点M作的垂线分别交边、于点G、点H．若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为________．

解：如图，过点G作GK⊥BC于点K，过点F作FN⊥AB于点N，交GK于点P，交GH于点O，

∵线段恰好平分矩形的面积，
∴线段经过矩形的中心，
∴BE=DF=1，
∵FN⊥AB，∠A=∠D=90°，
∴四边形ADFN为矩形，
∵，，
∴FN=AD=6，AN=DF=1，
∴NE=AB-AN-BE=2，
∵GH⊥EF，FN⊥GK，
∴∠FMO=∠GPO=90°，
∵∠FOM=∠GOP，
∴∠MFO=∠PGO，
∵∠FNE=∠GKH=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得
．
故答案为： ．
23．在矩形中，，，点是上一动点，过点作交于，将沿折叠，点的对应点落在边上时，的长为______

【答案】
24．如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________．

【答案】
三、解答题
25．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）

解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8，
∴，=8，
∴，，
∴，，
∵BE=EF=FD，
∴，，
∴BG=AD=4，HD=BG，
∴HD=2；
（2）∵BE=EF，
∴=a，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴四边形AEFH的面积=-=．
26．如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，△ABC用平分线AF交DE于点G，交BC于点F．

（1）求证：△AED∽△ABC．
（2）设，求的值．
【解】（1）∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED∽△ABC；
（2）∵△AED∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴．
27．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ACF；
（2）若AE：AB＝2：3，求的值．

解：（1）∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∵AF为∠BAC的角平分线，
∴∠DAG＝∠FAC，
∴△ADG∽△ACF；
（2）△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∵△ADG∽△ACF，
∴AG：AF＝AD：AC＝2：3，
设AG为2x，则AF＝3x，
∴GF＝x，
∴＝＝2．
28．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？

解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴，
∴
∴x=8，
答：这座方城每面城墙的长为8里．
29．（1）如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．

解：（1）如图，直线AE即为所求作．

（2）如图，直线a，直线b即为所求作．

30．已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

解：（1）证明：∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴AE=CD=BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）解：与∠ADB相等的角为：∠ADC、∠AEB、∠DBE、∠DAE，理由如下：
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴BF=2AF，
∴AB=3AF，
∵AC=3AF，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
又∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB=∠DBE=∠DAE=90°
∴与∠ADB相等的角为：∠ADC、∠AEB、∠DBE、∠DAE

31．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
如图，在中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且，对此，我们可以用演绎推理给出证明．

请结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：
（1）如图②，在中，，，．D、E、F分别为AB、AC、AE的中点，则______；
（2）如图③，在（1）的条件下，延长FD、CB相交于点G，则______．

【解】∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
（1）如图，过点E作EH⊥BC于H，
∵点E为AC中点，，
∴S△EBC==6，
∵BC=6，
∴BC·EH=6，
解得：EH=2，
∵∠C=45°，
∴CH=EH=2，BH=BC-CH=4，
∴BE==，
∵D、F分别为AB、AE的中点，
∴DF=BE=，
故答案为：

（2）如图，连接DE，
∵D、E为AB、AC中点，
∴DE//BC，
∵D、F为AB、AE中点，
∴DF//BE，
∴四边形DGBE是平行四边形，
∴，
∵点D为AB中点，
∴=3，
∴．

故答案为：3
32．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．

解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴△PBD为等边三角形
∴，
∴
在和中

∴
∴
（2）过点作，如下图：

∵当α＝120°时，
∴，
∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋转的性质可得：，
∴，
又∵
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度
当在线段上时，如下图：

由题意可得：
∵α＝120°，
∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设，则
由勾股定理可得：
即，解得
则
当在线段延长线上，如下图：

则，
由（2）得，
设，则
由勾股定理可得：
即，解得
则
综上所述：点D到CP的距离为或
33．（问题发现）

（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
（类比探究）
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；
（拓展延伸）
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．
解：（1）BP=CE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=60°，
又∵△PAE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠EAC，
∴△ABP≌ACE（SAS）
∴BP=CE；

（2），理由如下：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，
∴，
∴，
∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，
∴∠PAE=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP∽△CAE，
∴，
∴；

（3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形ABCD是正方形，，
∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，
∴
∴∠FAP+∠AFP=90°，
又∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=EP，∠APE=90°，
∴∠APF+∠EPG=90°，
∴∠FAP=∠EPF，
又∵∠AFP=∠EGP=90°，
∴△AFP≌△PGE（AAS），
∴PG=AF=2，EG=FP，
设FP=GE=x，则BG=BF+FP+PG=4+x，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴．