2023邵阳武冈高三上学期期中考试数学试题含解析

2022年下学期期中考试试卷

高三数学

本试卷分为问卷和答卷.考试时量为120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

4. 如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）

A.  B.  C.  D. 2

5. 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定

6. 已知与满足：，，，则（    ）

A. 是钝角三角形，是锐角三角形

B. 是锐角三角形，是钝角三角形

C. 两个三角形都是锐角三角形

D. 两个三角形都是钝角三角形

7. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “”是“函数为奇函数”的充分不必要条件

C. 中，是为锐角三角形的必要不充分条件

D. 已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”的充分不必要条件

10. 已知实数，，满足，则下列说法正确是（    ）

A.  B.

C.  D. 的最小值为4

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 为函数的一个周期

B. 直线是函数图象的一条对称轴

C. 函数在上单调递增

D. 函数有且仅有2个零点

12. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A.  B. .

C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 则______．

14 已知函数，若时，取得极值0，则___________.

15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．

16. 已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.

四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明及演算步骤）

17. 已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．

18. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

19. 如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．

（1）求的大小；

（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．

20. 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.

21. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．

（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；

（2）设采取“5合1检测法”总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．

22. 已知函数有三个极值点，

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：