高考数学一轮复习配套课件 第三章 第二节 第2课时 导数与函数的极值、最值

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考点一　利用导数求函数的极值问题　[综合性]角度1　根据函数图象判断极值[例1]　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．f(x)有两个极值点B．f(－2)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值
解析：由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故ABD错误，C正确．
反思感悟　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
角度2　求已知函数的极值[例2]　已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
反思感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，具体如下表：
[提醒]　对于求解析式中含有参数的函数的极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论．分两个层次讨论：第一层，讨论方程在定义域内是否有根；第二层，在有根的条件下，再讨论根的大小．
角度3　已知极值(点)求参数[例3]　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝_____．
(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
反思感悟　 已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点两侧导数的符号.
【对点训练】1．[2022·洛阳模拟]若x＝1是函数f(x)＝ax＋ln x的极值点，则(　　)A.f(x)有极大值－1 B．f(x)有极小值－1C.f(x)有极大值0 D．f(x)有极小值0
考点二　利用导数求函数的最值　[综合性、应用性][例4]　已知函数g(x)＝a ln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
反思感悟　求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在区间[a，b]上有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)若函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，则这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
考点三　生活中的优化问题　[应用性][例5]　[2022·山东烟台调研]中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤25，t∈N*，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20≤t≤25时，高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5≤t<20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人．记发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)．(1)求P(t)的解析式；
反思感悟　利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤
[注意]　在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解.
【对点训练】如图，将一张16 cm×10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形， 使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________cm3.