2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若两个相似多边形的相似比为：，则它们面积之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

2. 二次函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数中，当时，值随值的增大而减小的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若二次函数的图象与轴交点个数为(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

5. 已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 已知点与点都在反比例函数的图象上，则与之间的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，抛物线经过点，与轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中：；方程的解为和；；，其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 请写出一个过，开口向下的二次函数表达式______．
10. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且：：，那么：等于______．
     
11. 若二次函数的图象上有两个点、，则______填“”或“”或“”．
12. 已知，则______．
13. 二次函数表达式向右平移个单位，所得函数表达式为______．
14. 二次函数表达式沿轴翻折的表达式为______．
15. 如图，铁路口栏杆短臂长米，长臂长米，当短臂端点下降米时，长臂端点升高______ 米．

16. 如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标______．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，中，，于点求证：．

18. 本小题分
    已知二次函数，画此函数图象时，列表如下：

求出，的值；
在右边的坐标系中画出的图象；
当时，的取值范围是______．

19. 本小题分

如图，直线与双曲线相交于，两点，点的坐标为．

求反比例函数的表达式；

根据图象直接写出当的的取值范围；

计算线段的长．

20. 本小题分
    如图，矩形中，为上一点，于点．
    证明∽；
    若，，，求的长．

21. 本小题分
    已知抛物线．
    用配方法将化成的形式；
    写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．
22. 本小题分
    已知关于的二次函数与轴有两个交点．
    求的取值范围；
    若为大于的整数，且该函数的图象与轴交点的横坐标都是整数，求的值．
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请在轴正半轴上找到点，使得与相似，求出点坐标，并说明理由．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，作轴于点．
    求的值；
    直线图象经过点交轴于点，且求的值．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点．
    请直接写出点的坐标及的值；
    若点在图象上，且，求点的坐标．

26. 本小题分
    如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．
    所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所用旧墙的长；
    求矩形菜园面积的最大值．

27. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线，，是此抛物线上的两点．
    若，
    求抛物线顶点坐标；
    若，求的值；
    若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是______．
28. 本小题分
    对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
    函数和中是有上界函数的为______只填序号即可，其上确界为______；
    如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
    如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：相似多边形的相似比是：，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为：；
故选：．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由于，
所以当时，函数取得最小值为，
故选：．
根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，随的增大而增大，故A选项错误；
B、，随的增大而增大，故B选项错误；
C、，当时，值随值的增大而减小，此选项正确；
D、，当时，值随值的增大而增大，此选项错误．
故选：．
分别利用一次函数以及二次函数和反比例函数的性质分析得出即可．
此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数以及反比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当与轴相交时，函数值为．
，
，
方程有个不相等的实数根，
抛物线与轴交点的个数为个．
故选：．
令函数值为，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就与轴有几个交点．
本题主要考查抛物线与轴的交点问题，令函数值为，得到一元二次方程，根据根的判别式确定抛物线与轴的交点个数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与轴的交点问题及根据二次函数与轴的交点坐标求出一元二次方程的根，求出二次函数与轴的交点坐标是解题的关键．
关于的一元二次方程的两实数根就是二次函数为常数的图象与轴的两个交点的横坐标．因此求出二次函数为常数的图象与轴的两个交点坐标即可解答本题．
【解答】
解：二次函数的解析式是为常数，
该抛物线的对称轴是：．
又二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性质知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
关于的一元二次方程的两实数根分别是：，．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，，
点在反比例函数的图象上，，
．
故选：．
把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出与的值，比较大小即可．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．
 

7.【答案】 

【解析】解：由点和都是抛物线上的点，
得、关于对称轴对称，
即对称轴过、的中点，
对称轴为直线，
故选：．
根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴．
本题考查了二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
，故本选项正确；
由对称轴为，一个交点为，
另一个交点为，
方程的解为和，故本选项正确；
由对称轴为，
，
，则，故本选项正确；
抛物线与轴交于，
，
，
，故本选项正确；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：可设顶点坐标为，
抛物线解析式为，
图象开口向下，
，
可取，
抛物线解析式为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由开口向下可知二次项系数小于，由顶点在可设其为顶点式，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例根据平行线分线段成比例定理，由得到：：：，则利用比例性质得到：，然后利用可得到：．
【解答】
解：，
：：：，
：：，
，
：：：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：
、在函数的图象上，
，，
，
故答案为：．
把点的坐标代入函数解析式可求得、的值，再进行比例大小即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
根据比例的合比性质可直接求解．
熟练应用比例的合比性质对已知问题进行化简求值．
 

13.【答案】 

【解析】解：二次函数表达式向右平移个单位，所得函数表达式为，
故答案为：，
根据左加右减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
二次函数表达式沿轴翻折的表达式为，
即，
故答案为：，
根据二次函数图象关于轴对称的性质即可求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象及其性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，由题意可知，米，米，米，
在与中，
，，
∽，
，即，
解得米．
故答案为：．
连接、，根据相似三角形的判定定理判断出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意判断出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
 

16.【答案】满足的第三象限点均可，如 

【解析】解：点代入得，，
反比例函数的关系式为：，
第三象限内的点，，
当时，，
故答案为：满足的第三象限点均可，如
根据反比例函数的图象过点可求出的值，再根据在第三象限图象内找出符合条件的点即可．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法．
 

17.【答案】证明：，
，
，
，
，
，又，
∽，
，
． 

【解析】根据同角的余角相等得到，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握同角的余角相等、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：、时的函数值相等，都是，
，
，
二次函数图象经过点，
；
描点、连线画出函数图象如图：

当时，的取值范围是．
故答案为：．
根据抛物线的对称性求得对称轴，即可求得的值，由抛物线过点，即可求得；
根据表格数据描点，连线，画图即可；
根据图象即可求得．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
 

19.【答案】解：把代入得：，
即反比例函数的表达式是；

把代入得：，
即直线的解析式是，
解方程组得出点的坐标是，
当时，的取值范围是或；

过作轴于，
，
，，
由勾股定理得：，
同理求出，
． 

【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
求出直线的解析式，解组成的方程组求出的坐标，根据、的坐标结合图象即可得出答案；
根据、的坐标．利用勾股定理分别求出、，即可得出答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，题目比较典型，难度不大．
 

20.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，

∽；
，，
由勾股定理得，
∽；

即：
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大．
利用矩形和直角三角形的性质得到、，从而证得两个三角形相似．
首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得的长．
 

21.【答案】解：；

，
对称轴为直线，顶点坐标为． 

【解析】由于二次项系数是，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为求解即可．
本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质，难度适中．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意知，，
解得：；

，且为整数，
或，
当时，函数解析式为，不符合题意，舍去；
当时，函数解析式为，与轴的交点为、，符合题意，
故． 

【解析】根据抛物线与轴有两个交点，求出的取值范围，即可求出的取值范围；
根据的结论，且为正整数，求出的值，将代入抛物线解析式，检验是否与轴有两个交点即可；
此题主要考查了抛物线与轴交点问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
 

23.【答案】解：或理由如下：
若∽，点在轴上方：，
，即．
．
，
若∽，点在轴上方：可得．
综上所述，点的坐标是或． 

【解析】分∽和∽两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，继而求得点的坐标．
本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够结合坐标与图形熟练求解．
 

24.【答案】解：函数的图象经过点，
；

，，
．
分两种情况：
如果．
直线图象经过点交轴于点，
，解得；
如果．
直线图象经过点交轴于点，
，解得．
综上，所求的值为或． 

【解析】将代入，即可求出的值；
首先根据求出再分两种情况进行讨论：；将、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，进行分类讨论是解小题的关键．
 

25.【答案】解：过点作轴于，如图，

线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点落在函数的图象上，
；
过作交的图象于点，过作轴于，
，
，
∽，
：：：，
点在上，
，
，
点的坐标为 

【解析】过点作轴于，如图，利用旋转的性质得，，再证明≌得到，，则，然后把点坐标代入反比例函数中可计算出的值；
画出过点的反比例函数的的草图，结合条件点在图象上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，考查了坐标与图形变化旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：设米，
则米，
根据题意，得：，
解得，，
，舍去，
所用旧墙的长为米；
设矩形菜园面积为，
则

，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：矩形菜园面积的最大值为平方米． 

【解析】设米，知米，根据矩形的面积公式列出关于的方程，解之即可；
设矩形菜园面积为，根据矩形的面积公式得出，由，并结合二次函数的性质可得答案．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，熟练掌握二次函数的性质是解题的根本，根据题意知道如何表示矩形的面积，并配方成顶点式是解题的难点和关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：把代入得，
抛物线顶点坐标为．
点，关于抛物线对称轴对称，且，为的根，
，，
，
解得．
解方程得，，
，
，
．
故答案为：．
把代入解析式求解．用含代数式求出，，进而求解．
用含代数式表示，然后解不等式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握含参二次函数的性质与参数的关系．
 

28.【答案】，
，随值的增大而减小，
当时，，
上确界是，
，
函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
的取值范围为：；
的对称轴为直线，
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍，
综上所述：的值为． 

【解析】解：，
无上确界；
，
，
有上确界，且上确界为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

分别求出两个函数的最大值即可求解；
由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围；
当时，，可得舍；当时，，可得舍；当时，，可得；当时，，可得舍．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．