2021-2022学年河北省邯郸市永年区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省邯郸市永年区八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在，，，，，，中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

4. 若分式中、均扩大为原来的倍，分式的值变为原来的倍，则的值是(    )

A. 任意非零实数 B.  C.  D.

5. 下列说法：是的平方根；的平方根是；的立方根是；的算术平方根是；的立方根是；的平方根是，其中正确的说法是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 如图，≌，则与的关系是(    )

A. 平行但不相等
B. 相等但不平行
C. 不平行也不相等
D. 平行且相等

7. 如图，字母所代表的正方形的边长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列关于近似数的说法正确的是(    )

A. 精确到十分位是 B. 近似数精确到百位
C. 精确到万位是 D. 我国人口有亿，其中是近似数

9. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是(    )

A. 已知两边及夹角 B. 已知三边
C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角

10. 已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
    ，这与三角形内角和为矛盾
    因此假设不成立．
    假设在中，
    由，得，即．
    这四个步骤正确的顺序应是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，的垂直平分线分别交、边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度(    )
     

A.  B.  C.  D.

13. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

14. 在和中有，，，，，，则下列各组条件中不能保证≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

15. 某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间比原计划生产台机器所需时间少天，设现在平均每天生产台机器，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

16. 如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 计算的结果是______．
18. 若关于的分式方程有增根，则的值为______．
19. 如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的长为______．

20. 如图，，是的中点，平分，且，则______

三、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
22. 本小题分

已知一个正数的两个平方根分别为和．

求的值，并求这个正数；

求的立方根．

23. 本小题分
    如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．
    求证：是的垂直平分线；
    若的面积为，，，求的长．

24. 本小题分
    如图，在中，，是上的一点，且，点是的中点，连接．
    求证：；
    求证：；
    若，，那么的周长是多少？

25. 本小题分
    甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作天后，再由两队合作天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的倍．
    求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
    甲工程队一天的费用是万元，乙工程队一天的费用是万元，若甲乙合作天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用单位：万元
26. 本小题分
    【问题提出】如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
    【类比延伸】如图，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接填空：的度数为______；线段与之间的数量关系为______．
    【拓展研究】如图，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，是无理数，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：若二次根式有意义，
则且，
解得且．
故选：．
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可．
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
．
．
故选：．
根据分式的基本性质解决此题．
本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的平方根，符合题意；
的平方根是，不符合题意；
的立方根是，不符合题意；
的算术平方根是，符合题意；
的立方根是，不符合题意；
的平方根是，不符合题意；
符合题意的有：，
故选：．
根据平方根可以判断，根据立方根可以判断，根据算术平方根可以判断．
本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：≌，
，，
，
与的关系是平行且相等，
故选：．
根据全等三角形的性质得到对应角相等，然后根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
字母所代表的正方形的边长是．
故选：．
根据已知两个正方形的面积和，求出各个正方形的边长，然后再利用勾股定理求出字母所代表的正方形的边长．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

8.【答案】 

【解析】解：精确到十分位是，所以选项不符合题意；
B.近似数精确到百分位，所以选项不符合题意；
C.精确到万位是万，所以选项不符合题意；
D.我国人口有亿，其中是近似数，所以选项不符合题意．
故选：．
根据近似数的精确度对、、进行判断；根据近似数的定义对进行判断．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．观察图形可知已知线段，，，由此即可判断．
【解答】
解：观察图形可知：已知线段，，，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，
在和之间，即．
故选：．
先估算出的范围，即可求得答案．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：、假设在中，，
、由，得，即，
、，这与三角形内角和为矛盾，
、因此假设不成立．，
故选：．
根据反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值即为的最小值，
当，，在同一直线上时，即与重合，最小，
即时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，
原式

．
故选：．
把的值代入原式计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在和中，有边边角、角角角不能判定三角形全等，
是边边角，
不能保证≌．
故选C．
由于全等三角形的六个元素每三个组成的组合有边边角、角角角不能判定三角形全等，由此即可求解．
此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

15.【答案】 

【解析】解：设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器，
根据题意，得．
故选：．
设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器，根据“现在生产台机器所需时间比原计划生产台机器所需时间少天”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产台机器所需时间比原计划生产台机器所需时间少天”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

的垂直平分线交于点，
，
在中，，
，
．
于点，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，由线段的垂直平分线的性质可得的长；由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可求得，从而可求得，解直角三角形，可得的长度；由，可得为等腰直角三角形，从而可得的长度．
本题考查了含度角的直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先根据分式的加减进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】 

【解析】解：方程两边同乘以化为整式方程得：
，
分式方程有增根，
的解是，
即，
，
故答案为：．
利用增根的意义可以求解．
本题考查增根的概念，正确理解增根的含义是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：和都是边长为的等边三角形，
，
，
又，
，
在中，，，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后求出，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，求出是直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：作于，
，
，
，
平分，，，
，
是的中点，
，
，又，，
，
故答案为：
作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可．
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
；

原式


． 

【解析】先根据平方差公式，负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
先根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算，再求出答案即可．
本题考查了负整数指数幂和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】解：由平方根的性质得，，
解得，
这个正数为；
当时，，
的立方根为，
的立方根为． 

【解析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
的平方根是；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，的立方根是．
根据平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数列出算式，求出的值即可；
求出的值，根据立方根的概念求出答案．
 

23.【答案】证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又是的角平分线，
是的垂直平分线；
解：，
，
，，，
，
解得：，
即的长为． 

【解析】由角平分线的性质得到，再由“”证≌，得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；
由列式计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
为直角三角形．
又点是的中点，
．
又，
，．
又，
．
又，
．

证明：由可得，
又，
，
．

解：在中，，

的周长． 

【解析】在中，点是的中点；根据直角三角形的性质，可得，故；
同，可得，再根据的结论可得，代换可得结论；
根据勾股定理可得的长，结合的结论，可得答案．
本题考查直角三角形的有关性质、勾股定理及三角形的内角和定理．
 

25.【答案】解：设甲工程队单独完成这个项目需要天，则乙工程队单独完成这个项目需要天，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队单独完成这个项目需要天，乙工程队单独完成这个项目需要天．
设甲乙两队合作天后乙队还要再单独工作天，
依题意得：，
解得：，
万元．
答：这个项目总共要支出的工程费用为万元． 

【解析】设甲工程队单独完成这个项目需要天，则乙工程队单独完成这个项目需要天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设甲乙两队合作天后乙队还要再单独工作天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用总工程费用每天所需工程费用工作时间，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

26.【答案】   

【解析】证明：，
，
即，
在和中，，
≌，
．
解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：；．
解：和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
；
，，，
，
，
；
即线段、、之间的数量关系为．
根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出．
首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，，进而判断出的度数为即可．
首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；证明≌，得出，，进而求出；再根据，，，可得，得出，判断出即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．