2022-2023学年山东省济宁市任城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省济宁市任城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知点在反比例函数的图象上，则该图象一定不经过的点是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是：，坡高，则迎水坡宽度的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点、、都在格点上，则的正弦值是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
   量得测角仪的高度；
   量得测角仪到旗杆的水平距离．
   利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点给出如下结论：
    与的面积相等；
    与始终相等；
    四边形的面积大小不会发生变化；
    ．
    其中所有正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数表达式为______．
12. 在中，，，，则______．
13. 某同学用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：则该二次函数在时，______．

14. 一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是时，拱顶距离水面是当水面下降后，水面宽度是______结果保留根号

15. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：；；；当时，随的增大而减小．其中正确的结论有______填写代表正确结论的序号

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
17. 本小题分
    已知二次函数为常数，的图象经过点．
    求的值；
    判断二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由．
18. 本小题分
    在中，，已知，，求，，的大小．
19. 本小题分
    如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距的，两点．现测得，，求这段河流的宽度结果精确到．

20. 本小题分
    阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用米长的院墙，另三边用总长为米的离笆恰好围成．如图，设边的长为米，矩形的面积为平方米．
    求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
    当为何值时，有最大值？并求出最大值．

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线的一个交点为，且．
    求点的坐标；
    当时，求和的值．

22. 本小题分
    已知抛物线抛物线过点，与轴的另一个交点为与轴交于点直线与这条抛物线的对称轴交于点．
    求抛物线的解析式及点，的坐标；
    求直线的解析式和点的坐标；
    在第一象限内的该抛物线有一点，且，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
该图象一定不经过的点是．
故选：．
将代入，求出的值，再根据对各项进行逐一检验即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
 

2.【答案】 

【解析】解：的值等于，
故选：．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线的顶点坐标为，已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】

解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选B．

4.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线表达式是：，即．
故选C．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡比是：，即，
则，
又米，
米．
故选：．
由堤高米，迎水坡的坡比：，根据坡度的定义，即可求得的长．
此题考查了坡度坡角问题，注意理解坡度的定义是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，
由勾股定理可知：，，
设，
，
，
解得：，
，
，
故选：．
过点作于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出的值，从而可的正弦值．
本题考查解三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，




，
代数式的最小值等于，
故选：．
由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是．
此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】

解：过作于，则四边形是矩形，

，，
，
，
，
，
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：、是反比函数上的点，
，故正确；
当的横纵坐标相等时，故错误；
是的图象上一动点，
，
--，故正确；
连接，

，
，，
，
；故正确；
综上所述，正确的结论有．
故选：．
由于、是反比函数上的点，可得出，故正确；当的横纵坐标相等时，故错误；根据反比例函数系数的几何意义可求出四边形的面积为定值，故正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数的几何意义是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设反比例函数为，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
运用待定系数法求出函数的解析式即可．
考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，然后根据正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由表中数据得，抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
当时，．
故答案为．
根据表中的各组对应组得到抛物线的对称轴为直线，然后确定点关于直线的对称点即可．
本题考查了二次函数的性质：它的图象为一条抛物线，对称轴为直线．
 

14.【答案】 

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设该抛物线的解析式为，
由题意可知：点在该函数图象上，
，
解得，
该抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
当水面下降后，水面宽度是：，
故答案为：．
根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入函数解析式，求出的值，然后即可求得水面下降后，水面宽度．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确；
时，函数值小于，则，故正确；
与轴交于点和点，则对称轴，故，故错误；
当时，图像位于对称轴左边，随的增大而减大．故错误；
综上所述，正确的为．
故答案为：．
根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定，根据时判定，由抛物线图像性质判定．
本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

16.【答案】解：原式


；

原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案；
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：将代入得，
解得，，
又，
．
二次函数图象与轴有个交点．
理由如下：
，
，
，
二次函数图象与轴有个交点． 

【解析】将代入解析式求解．
由判别式的符号可判断抛物线与轴交点个数．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

18.【答案】解：根据题意可得，
；
，
，
． 

【解析】根据勾股定理，即可计算出，再根据正切的计算方法可得，，由的值即可算出的度数，再根据余角的计算方法即可得出的度数．
本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
设的长为，
在中，
，
，
在中，
，
，
，两点相距，即，
，
解得，
河流宽约为． 

【解析】通过作高构造直角三角形，在两个直角三角形中，由直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得，
，
，
解得，，
即与之间的函数关系式是；

，
当时，有最大值，最大值是平方米． 

【解析】根据题意可以写出与之间的函数关系式，并求出的取值范围；
根据中的函数关系式，可以化为顶点式，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

21.【答案】解：由题意得：令中，
即，解得，
点的坐标为，
故答案为．
过点作轴的垂线交轴于点，作轴的垂线交轴于点，如下图所示：

显然，，
，且，
∽，
，即：，
，
又，
即：，
，
点的坐标为，
故反比例函数的，
再将点代入一次函数中，
即，解得，
故答案为：，． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握其图象性质是解决此题的关键．
令中即可求出点的坐标；
过点作轴的垂线交轴于点，作轴的垂线交轴于点，证明∽，利用和进而求出的长，再由求出的长，进而求出点坐标即可求解．
 

22.【答案】解：抛物线过点，
，解得，
抛物线为，
令，则，
，
对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
；
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，，
的坐标为；
抛物线有一点，
，
过点作轴，交直线与，
，
，，，
，
，
，
，
解得，，
或． 

【解析】根据待定系数法即可求得解析式，令，求得的值，即可求得的坐标，求得对称轴，根据抛物线的对称性即可求得的坐标；
根据待定系数法即可求得直线的解析式，把代入求得的直线解析式即可求得的坐标；
过点作轴，交直线与，表示出，然后根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程求得的值，进而求得的坐标．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形的面积，表示交点的坐标是解题的关键．