2021-2022学年广西贺州市八步区九年级（上）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年广西贺州市八步区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 在抛物线上的一个点是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示，∽，若，，则与的相似比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

3. 如图，在中，把锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，且、、分别是、、的对边，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

6. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点是斜边上异于，的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

8. 如图，在矩形中，于，设，且，，则的长为．(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四边形是正方形，的高，，则正方形的边长是．(    )

A.
B.
C.
D.

11. 已知反比例函数的图象如图，则二次函数的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为米，他继续往前走米到达点处即米，测得自己影子的长为米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度是(    )
     

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

三、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 已知，则的值是______．
14. 反比例函数的图象过点，则的值为______．
15. 将抛物线向下平移个单位，所得到的抛物线的解析式为______．
16. 如图，在平行四边形中，点在边上，且：：，与相交于点，若，则______．

17. 如图，在中，若，，，则______．

18. 已知二次函数图象如图所示，则下列正确的是______．
    ；；；当时，随的增大而增大．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：．
20. 已知函数请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．
21. 如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，．
    以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍，画出图形；
    分别写出，两点的对应点，的坐标；
    求的面积．

22. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
    求的值；
    如果点在轴上，且满足以点、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点的坐标．

23. 如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了米到达点，在点测得旗杆顶端的仰角，求旗杆的高度．结果保留根号
     
24. 某商场销售一种进价为元台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量台与销售单价元满足，设销售这种台灯每天的利润为元．
    求与之间的函数关系式；
    当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
25. 如图，在四边形中，，，，为上一点，且，若，：：，求的长．

26. 如图，在平面直角坐标系内，已知直线与轴、轴分别相交于点和点，抛物线图象过点和点，抛物线与轴的另一交点是，
    求出此抛物线的解析式、对称轴以及点坐标；
    若在轴负半轴上存在点，能使得以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
抛物线过或两点．
故选：．
根据几个选项，分别将或代入中，求的值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．
 

2.【答案】 

【解析】解：∽，
与的相似比为：：．
故选：．
根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据锐角三角函数的定义可直接得出答案．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，
的面积，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义可得的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在对应点和点所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于点，即可得出为两图形位似中心，
故选：．
根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，，均在函数的图象上，
，，，
，
．
故选：．
直接把点，，代入函数，求出，，的值，并比较出其大小即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于是直角三角形，
过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线．
故选：．
过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法有两组角对应相等的两个三角形相似来判定两个三角形相似．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知可知：，．
在中，，
即，
．
根据勾股定理得．
在中，，
即，
．
故选：．
由已知条件可知：，在中，，由此可以求出然后根据勾股定理求出，最后在中利用余弦函数的定义即可求出．
此题考查了解直角三角形、逻辑推理能力、运算能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为，
，
抛物线开口向上，
在对称轴左侧随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
解得，
故选：．
可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：交于点，如图，
四边形是正方形，
，，，
为的高，
，
，
四边形为矩形，
，
设正方形的边长为，
，则，
，
∽，
，即，
解得，
正方形的边长是．
故选：．
交于点，如图，根据正方形的性质得到，，，再证明四边形为矩形得到，设正方形的边长为，则，，接着证明∽，利用相似三角形的性质得到，然后解方程求出即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了正方形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过二、四象限，，
由图知当时，，，
抛物线开口向下，
对称轴为，，
对称轴在与之间，
故选：．
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，即，
，
∽，
，即，
，解得，
，解得，
即路灯的高度为．
故选B．
由可判断∽，根据相似三角形的性质得，同理可得，然后解关于和的方程组即可得到的长．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
 

13.【答案】 

【解析】解：由分比性质，得，
故答案为：．
根据分比性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用了分比性质：．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象过点，
，
故答案为：．
把点的坐标代入函数表达式计算即可得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

15.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移个单位，所得到的抛物线的解析式为：，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
∽，
，即，
．
故答案为：．
利用平行四边形的性质，可得出，，进而可得出∽，再利用相似三角形的性质，即可求出的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，先在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，所以，故正确；
对称轴为，
，
正确；
由图象知，当时，图象在轴上方，所以，故错误；
当时，随的增大而增大，故正确；
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由对称轴为，得，可以判定，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是能够数形结合，通过图象得到二次函数系数的特征．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
所以，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 

【解析】利用配方法整理，然后根据顶点式解析式写出对称轴和顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图；   分

，，
，，
，两点的对应点，的坐标为
，；




，
． 

【解析】分别延长，，使，，然后连接即可；
分别求出点、的横坐标与纵坐标的倍的相反数即可；
利用网格把三角形放到矩形里面，然后利用矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，求解即可．
本题主要考查了利用位似变换作图，中利用“割补法”求面积，割补法是求图形的面积的常用方法，有一定难度．
 

22.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，
根据图象可得出点横坐标为，代入一次函数解析式，
，
点坐标为：，
反比例函数的图象经过点，
；

作轴，轴，如图，设点坐标为，
点与点关于原点对称，
点坐标为，
，，，
分情况讨论：
当是以为斜边的直角三角形，则，
，即，解得；
当是以为斜边的直角三角形，
，即，解得；
当是以为斜边的直角三角形，
，即，解得；
点坐标为、、、． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．
首先求出点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；
轴，轴，如图，设点坐标为，先根据对称得到点坐标为，再根据勾股定理得到，，，然后分类讨论：当是以为斜边的直角三角形，则；当是以为斜边的直角三角形，则；当是以为斜边的直角三角形，，分别得到关于的方程，解方程求出的值即可得到点坐标．
 

23.【答案】解：，，
，
，
米，
米，
在中，
，
米． 

【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
根据题意得，，从而得到，进而判定，得到米，在中利用求得的长即可．
 

24.【答案】解：，
，
；

，
，
当元时，最大利润元． 

【解析】用每台的利润乘以销售量得到每天的利润．
由得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
此题主要考查了二次函数的应用，根据配方法求出二次函数的顶点坐标是解题关键．
 

25.【答案】解：平行，，
．
，
，
，
，
，
，
∽，
．
，：：，
，，
，
． 

【解析】利用平行线的性质，可求出，由同角的余角相等，可得出，进而可得出∽，利用相似三角形的性质，可得出，再结合各边之间的关系，即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线以及三角形内角和定理，利用相似三角形的判定定理，找出∽是解题的关键．
 

26.【答案】解：由得，则点的坐标为；
由得，解得，则点的坐标为；
把点代入，得，
解得：，
此抛物线的解析式为，
此抛物线的对称轴为．
令得，
解得：，，
点的坐标为．

，，
，
．
，，，
，．
点在轴负半轴上，，即．
又，即，．
由条件“以、、为顶点的三角形与相似”可得∽，
，即，
解得：，
，
点的坐标为 

【解析】先求出、两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点的坐标；
易得，，由此根据条件即可得到∽，然后运用相似三角形的性质可求出的长，由此可得到的长，就可解决问题．
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第小题的关键．