北师大版 初中数学 九年级上册 第二章 一元二次方程【过关测试】

这是一份北师大版 初中数学 九年级上册 第二章 一元二次方程【过关测试】，共136页。
第二章   一元二次方程 过关测试【知识梳理】知识点1  一元二次方程的概念及解法一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论 （1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是移项得：二次项系数化为1，得：：即当时，即∴4. 因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解 知识点2：根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q 知识点3：一元二次方程的应用列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。一件商品的利润=售价-进价。总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。  【过关练习】一、单选题1．（2021·江苏九年级一模）若，则是（    ）A．-2 B．2 C．-2或2 D．4【答案】C2．（2021·河南九年级二模）能说明命题“关于的方程一定有实根”是假命题的反例为（    ）A． B． C． D．【答案】D3．（2021·广西九年级三模）若一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（    ）A． B．3 C． D．4【答案】C4．（2021·广东九年级一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ）A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240C．x（x＋1）＝240 D．x（x＋1）＝240【答案】A5．（2021·江苏九年级一模）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ）A．两个正根 B．两个负根C．一个正根，一个负根 D．无实数根【答案】A6．（2021·广西）关于x的一元二次方程：的解与方程的解相同，则（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D7．（2021·湖北九年级二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】D8．（2021·河南）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（    ）的解．A． B． C． D．【答案】C9．（2021·河南）为实数，，那么的值为（    ）A．1 B．或1 C． D．4或【答案】A10．（2021·安徽合肥38中九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解：如图，当在的两侧时，设 则 矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点， 四边形 四边形都是矩形， 由勾股定理得： 整理得： 如图，当在的右侧时，设 同理可得： 解得： 不合题意舍去，如图，当都在的左侧时，设 同理可得： 解得： 不合题意舍去，综上：满足条件的点只有个，故选：11．（2020·山东九年级其他模拟）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（   ）A．或 B． C． D．【答案】B12．（2021·广东九年级专题练习）如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：，其中正确的序号是(　　)A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④【答案】A二、填空题13．（2021·新疆九年级二模）有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．【答案】2414．（2021·江苏九年级二模）已知方程的根是和，则______．【答案】215．（2021·山东九年级二模）用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．【答案】16．（2021·江苏南师附中新城初中九年级二模）设、是方程的两个根．若，则______．【答案】217．（2021·云南九年级一模）已知关于的不等式组无解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则整数的值可以是______【答案】3，4．18．（2021·黑龙江九年级二模）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中说法正确的有______（填序号）．【答案】①②④19．（2021·黑龙江九年级三模）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是__________个．【答案】20．（2021·山东九年级二模）定义运算a⊗b＝a2－2ab+1，下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的（______）A．2⊗5＝－15；    B．不等式组的解集为x＜－；C．方程2x⊗1＝0是一元一次方程；    D．方程⊗x＝+x的解是x＝－1．【答案】AD 三、解答题21．（2020·浙江八年级其他模拟）解方程：（1）              （2）解：（1），∴，∴，∴x1=-1，x2=5；（2），∴，∴，∴，∴3x+2=0或x-4=0，∴x1=，x2=4．22．（2018·浙江）解方程：（1），           （2）．解：（1），，∴x1=x2=-5；（2），，，，，∴，．23．（2021·山东）已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．解：由已知定理得：，，∴，即，解得：，当时，△=，∴舍去；当时， △=，∴的值为1．24．（2021·黄山市黄山第二中学九年级月考）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5≥0，解得：即m的取值范围是（2）∵由（1）知：当m＞时，方程有两个不相等的实数根，∴取m＝1，则方程为x2+3x＝0， 或解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．25．（2021·内蒙古）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为　 　；（2）解方程：x2－x+2－8＝0．解：（1）设，则原方程可以转变成∴解得或（舍去）∴∴（2）设，则原方程可以转变成∴解得或（舍去）∴∴∴∴即解得∴，26．（2021·湖北九年级一模）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到．（1）求2016年该市的城镇化率；（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含，的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求的值．解：（1）由2016年总人数400万，到2020年底，该市总人口增加了20万人，以及2016年城镇化率为，可得城镇人口为：；由题意知2016年城镇人口为，加上2020年底增加的28万人，可得城镇人口为：；从而列出方程：；解之得：；（2）①2016年城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元，则农村居民人均可支配收入为故2016年全市居民的人均可支配收入为：，即；②∵2020年全市居民人均可支配收入为2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍，∴2020年全市居民人均可支配收入为：，又∵2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍∴2020年，该市城镇居民人均可支配收入为：，∵2020年，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为，∴2020年，农村居民人均可支配收入为：，故2020年全市居民人均可支配收入还可以为：，从而列出方程：，解之得：，或（舍）．故答案为：①；②．27．（2021·江苏九年级三模）已知，，，求代数式的值．解：∵，，，∴，，，则原式．28．（2021·广东华侨中学九年级二模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．29．（2021·河北九年级一模）如图，直线，与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1）______；点的坐标为______．（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标？解：（1）∵直线经过点，，解得：；即直线的解析式为；当y=0时，-3x+3=0，解得，则；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线的解析式为，∵经过点和点，∴，解得：，．∴直线的解析式为：；（3）设的面积的面积为；则，的高为3，则；（4）存在，设点P的坐标为（x，），分三种情况：①当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，∵A（4,0），B（1,0），∴点P的横坐标为：；②当AP=AB=3时，过点P作PH⊥x轴于点H，∵，∴，解得x=；③当AB=BP=3时，作PM ⊥x轴于点M，∵，∴解得x=或x=4（舍去）；综上，符合条件的点的横坐标是，，．