山东省青岛市崂山区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省青岛市崂山区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示圆柱的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（　　）
A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米
3．（3分）2021年上半年我国成功发射了天和核心舱、天舟二号货运飞船和神舟十二号载人飞船，中国的太空经济时代即将到来．太空基金会发布新闻稿指出，2018年的全球航天经济总量为80亿美元，2020年全球航天经济总量再创新高，达到3850亿美元，假设2018年到2020年每年的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）＝3850 B．80x＝3850
C．80（1+x）3＝3850 D．80（1+x）2＝3850
4．（3分）已知点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）和（2，3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2
5．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
6．（3分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，正确的个数有（　　）
①四边形AEDF是平行四边形
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，以A为圆心，AD的长为半径画弧交BC于点E，则图中空白部分的面积是（　　）

A．1﹣ B．2﹣ C． D．2+
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0．则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）tan30°＝　 　．
10．（3分）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有199次摸到红球，由此估计盒子中的红球大约有 　 　个．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．

12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE＝2，则△BFG的周长为　 　．

13．（3分）写出一组a，b的值，使二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，则a，b的值可以是a＝　 　，b＝　 　．
14．（3分）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为　 　．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）求作：Rt△ABC，使∠A＝45°，斜边AB＝a．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）解方程：
（1）4x（2x+1）＝3（2x+1）；
（2）﹣3x2+4x+4＝0．
17．（6分）甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定．游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

18．（6分）青岛电视塔座落于榉林公园内的太平山上，为测得电视塔的高度，如图所示，某同学在某栋楼的底部点D处看向电视塔底端的点B处，测得仰角是45°，在楼顶点E处，看向电视塔顶端C处，测得仰角是64°，已知楼高DE的高度为112米，AD⊥AC，DE∥AC，太平山的高度AB约为120米，求青岛电视塔BC的高度．（tan64°≈2）

19．（6分）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

20．（8分）小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
2
﹣1
2
5
m
…
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．
（1）求该二次函数表达式；
（2）请你指出这个算错的y值；
（3）通过计算求m的值．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

22．（10分）2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？

23．（10分）实际问题：某学校共有18个教学班（每班的学生都多于10人）．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：在不透明的口袋中装有红、黄、白、…m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化．
探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3＝4（如图①）；
（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少．需摸出小球的个数是：1+3×2＝7（如图②）；
（3）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3＝10（如图③）；
（4）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数是 　 　；
（5）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需摸出 　 　个小球．

探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（6）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出 　 　个小球；
（7）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需摸出 　 　个小球；
（8）要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需摸出 　 　个小球；
（9）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需摸出 　 　个小球；
探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 　 　．
探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 　 　．
问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取 　 　名学生．

24．（12分）如图所示，在△ABC中，∠C＝30°，BC＝20，AC＝16，E为BC中点．动点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P作PD∥AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0＜t＜10）
（1）当t＝3时，求PD的长；
（2）设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△DPQ：S△ABC＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．


2021-2022学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示圆柱的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2．（3分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（　　）
A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
【解答】解：根据同一时刻，列方程
即，
解方程得，大树高＝9.6米
故选：C．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了方程的思想．
3．（3分）2021年上半年我国成功发射了天和核心舱、天舟二号货运飞船和神舟十二号载人飞船，中国的太空经济时代即将到来．太空基金会发布新闻稿指出，2018年的全球航天经济总量为80亿美元，2020年全球航天经济总量再创新高，达到3850亿美元，假设2018年到2020年每年的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）＝3850 B．80x＝3850
C．80（1+x）3＝3850 D．80（1+x）2＝3850
【分析】利用2020年全球航天经济总量＝2018年全球航天经济总量×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：80（1+x）2＝3850．
故选：D．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
4．（3分）已知点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）和（2，3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2
【分析】先将点（2，3）代入反比例函数解析式求得k的取值，然后得到函数的增减性，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：将点（2，3）代入y＝得，k＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴函数在第一象限和第三象限内的函数值随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜1＜3，
∴y2＞y3＞0＞y1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的增减性，解题的关键是由待定系数法求得反比例函数的解析式．
5．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，正确的个数有（　　）
①四边形AEDF是平行四边形
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故①正确．
∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故②正确．
因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故③正确．
如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，以A为圆心，AD的长为半径画弧交BC于点E，则图中空白部分的面积是（　　）

A．1﹣ B．2﹣ C． D．2+
【分析】根据S空白＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AD∥BC，
由题意知AE＝AD＝2，
∵AB＝1，
∴∠AEB＝∠DAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴S空白＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝2×1﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出AE长和∠AEB的度数是解此题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0．则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由a＞b＞c，且a+b+c＝0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
即当x＝1时a+b+c＝0，
∵a＞b＞c，
∴定a＞0，c＜0，
故C选项正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）tan30°＝　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：tan30°＝．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确对特殊值的记忆是解题的关键．
10．（3分）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有199次摸到红球，由此估计盒子中的红球大约有 　2　个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【解答】解：设盒子中的红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x≈2，
即盒子中的红球大约有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　x1＝﹣3，x2＝1　．

【分析】抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣3，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE＝2，则△BFG的周长为　4+　．

【分析】首先利用已知条件可证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DE＝2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的长；然后，证明△ADE∽△BFE，再分别求出△ADE的周长，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE；，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠DFC，
∴CD＝CF＝6，
∵CE⊥DG，
∴DF＝2DE，
在Rt△CDE中，∵∠DEC＝90°，CD＝6，CE＝2，
∴DE＝＝4，
∴DF＝2DE＝8；
∴△CDF的周长＝12+8，
∵CF＝6，BC＝AD＝8，
∴BF＝BC﹣CF＝8﹣6＝2，
∴CF：BF＝6：2＝3：1．
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△BFG，
∴△CDF的周长：△BFG的周长＝CF：BF＝3：1，
则△BFG 周长＝4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
13．（3分）写出一组a，b的值，使二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，则a，b的值可以是a＝　1　，b＝　3　．
【分析】根据判别式的意义得到△＝b2﹣8a＞0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣8a＞0，
若a＝1，则b可取3．
故答案为：1，3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
14．（3分）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为　8　．

【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：方法一：∵点P在y＝上，
∴|xp|×|yp|＝|k|＝1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y＝﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y＝﹣上，
∴代入得：＝﹣，
解得：x＝﹣3a，
∴B的坐标是（﹣3a，），
∴PA＝|﹣（﹣）|＝，
PB＝|a﹣（﹣3a）|＝4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB＝××4a＝8．
故答案为：8．
方法二：∵函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，
∴＝＝，
∴＝＝，
由矩形DOPC∽矩形BEAP，
故S矩形BEAP＝16S矩形DOPC，
＝16×1
＝16，
则S△APB＝8．

【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）求作：Rt△ABC，使∠A＝45°，斜边AB＝a．

【分析】作线段AB＝a，作线段AB的垂直平分线DM，垂足为D，在射线DM上截取DC＝DA，连接AC，CB，即可．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）解方程：
（1）4x（2x+1）＝3（2x+1）；
（2）﹣3x2+4x+4＝0．
【分析】（1）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵4x（2x+1）＝3（2x+1），
∴4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
则（2x+1）（4x﹣3）＝0，
∴2x+1＝0或4x﹣3＝0，
解得x1＝﹣，x2＝；
（2）∵a＝﹣3，b＝4，c＝4，
∴Δ＝42﹣4×（﹣3）×4＝64＞0，
则x＝＝，
∴x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（6分）甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定．游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出颜色相同的情况数，然后根据概率公式求出甲去和乙去的概率，最后其进行比较，即可得出答案．
【解答】解：根据题意列表如下：

红
黄
蓝
红
红、红
红、黄
红、蓝
黄
黄、红
黄、黄
黄、蓝
蓝
蓝、红
蓝、黄
蓝、蓝
由上表可知，总共有9种不同的情况，它们出现的可能性相同，其中颜色相同的有3种，
所以P（甲去）＝，P（乙去）＝．
∵＜，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）青岛电视塔座落于榉林公园内的太平山上，为测得电视塔的高度，如图所示，某同学在某栋楼的底部点D处看向电视塔底端的点B处，测得仰角是45°，在楼顶点E处，看向电视塔顶端C处，测得仰角是64°，已知楼高DE的高度为112米，AD⊥AC，DE∥AC，太平山的高度AB约为120米，求青岛电视塔BC的高度．（tan64°≈2）

【分析】过E作EF⊥AC于F，则四边形ADEF是矩形，得AF＝DE＝112米，EF＝AD，证△ABD是等腰直角三角形，得AD＝AB＝120米，则EF＝120米，再由锐角三角函数定义得CF≈2EF＝240（米），则AC＝AF+CF≈352（米），即可得出答案．
【解答】解：过E作EF⊥AC于F，如图：
则四边形ADEF是矩形，
∴AF＝DE＝112米，EF＝AD，
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝120米，
∴EF＝AD＝120米，
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝＝tan64°≈2，
∴CF≈2EF＝240（米），
∴AC＝AF+CF≈112+240＝352（米），
∴BC＝AC﹣AB≈352﹣120＝232（米），
答：青岛电视塔BC的高度约为232米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．（6分）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）存在，设设P（0，m），表示出CP，DP，连接AP，BP，三角形ABP面积＝四边形ABCD面积﹣三角形ADP面积﹣三角形BCP面积，求出即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，
∴6n＝m①，
∵DC＝5，
∴m﹣n＝5②，
联立①②解得，m＝6，n＝1，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y＝，
将A（1，6）代入得：k＝6，
则反比例解析式为y＝；

（2）存在，
如图，设P（0，m），则CP＝m﹣1，DP＝6﹣m，
∵AD⊥y轴，BC⊥y轴，
∴∠ADP＝∠BCP＝90°，
连接AP，BP，
则S△ABP＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BCP
＝（BC+AD）•DC﹣DP•AD﹣CP•BC
＝×（1+6）×5﹣（6﹣m）×1﹣（m﹣1）×6
＝10，
解得：m＝3，
则P（0，3）．

【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形、梯形的面积，相似三角形的性质等，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解本题的关键．
20．（8分）小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
2
﹣1
2
5
m
…
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．
（1）求该二次函数表达式；
（2）请你指出这个算错的y值；
（3）通过计算求m的值．
【分析】（1）将点（0，﹣1），（1，2），（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）当x＝2时，y＝11，可知算的y值为5；
（3）当x＝3时，求m的值即可．
【解答】解：（1）由表格可知，对称轴为x＝0，
∴x＝2或x＝﹣2时，对应的y值有一个是错误的，
将点（0，﹣1），（1，2），（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝3x2﹣1；
（2）当x＝2时，y＝11，
∴算错的y值为5；
（3）当x＝3时，m＝26．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

【分析】（1）先证四边形ABEC是平行四边形，再证∠ACE＝90°，即可得出结论；
（2）先证四边形AFCG是平行四边形，再由矩形的性质得∠BAC＝90°，然后由直角三角形斜边上的中线性质得AF＝BC＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE＝CD，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
又∵AC⊥CD，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ABEC是矩形；
（2）解：四边形AFCG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点F，G分别是BC，AD的中点，
∴CF＝BC，AG＝AD，
∴CF＝AG，
∴四边形AFCG是平行四边形，
由（1）可知，四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵F是BC的中点，
∴AF＝BC＝CF，
∴平行四边形AFCG是菱形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？

【分析】（1）根据题意得出长×宽＝600，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，再利用二次函数增减性求得最值．
【解答】解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（50﹣x）m，
∴x（50﹣x）＝600，
解得：x1＝20，x2＝30，
答：x的值为20或30；
（2）∵AB＝xm，BC＝（50﹣x）m，
∴S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵在O处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是18m和10m，
∵50﹣18＝32，
∴10≤x≤32，
∴当x＝25时，S取到最大值为625，
答：矩形面积S的最大值为625平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
23．（10分）实际问题：某学校共有18个教学班（每班的学生都多于10人）．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：在不透明的口袋中装有红、黄、白、…m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化．
探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3＝4（如图①）；
（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少．需摸出小球的个数是：1+3×2＝7（如图②）；
（3）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3＝10（如图③）；
（4）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数是 　28　；
（5）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需摸出 　3n﹣2　个小球．

探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（6）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出 　5　个小球；
（7）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需摸出 　9　个小球；
（8）要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需摸出 　13　个小球；
（9）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需摸出 　4n﹣3　个小球；
探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 　5n﹣4　．
探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 　mn﹣m+1　．
问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取 　163　名学生．

【分析】首先要理解题意，明确解题方法，探究一可得规律为1+3×（同色的球数﹣1），探究二可得规律为1+4×（同色的球数﹣1），探究三可得规律为1+5×（同色的球数﹣1），探究四可得规律为1+m×（同色的球数﹣1），解题时要注意运用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题．
【解答】解：探究一：
（4）根据前三小问可得规律为1+3×（同色的球数﹣1），
∴从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，同色的球数至少为10个时，至少需要摸出：
1+3×（10﹣1）＝28．
（5）根据第四小问，当同色的球数至少为n时，至少需要摸出：
1+3×（n﹣1）＝3n﹣2．
探究二：
（6）（7）（8）（9）根据前两小问可得规律为1+4×（同色的球数﹣1），
∴（6）1+4×（2﹣1）＝5，
（7）1+4×（3﹣1）＝9，
（8）1+4×（4﹣1）＝13，
（9）1+4×（n﹣1）＝4n﹣3，
探究三：
根据前几小问可得规律为1+5×（同色的球数﹣1），
∴1+5×（n﹣1）＝5n﹣4，
探究四：
根据前几小问可得规律为1+m×（同色的球数﹣1），
∴1+m×（n﹣1）＝mn﹣m+1，
问题解决：
根据探究得到的规律可知，
全校最少需抽取的学生数为：1+18×（10﹣1）＝163．
【点评】本题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路，要求学生在理解的基础上进行方法的迁移运用，解题的关键是找到规律．
24．（12分）如图所示，在△ABC中，∠C＝30°，BC＝20，AC＝16，E为BC中点．动点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P作PD∥AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0＜t＜10）
（1）当t＝3时，求PD的长；
（2）设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△DPQ：S△ABC＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）当t＝3时，BP＝3，由平行线证出△BPD∽△BCA，得出比例式，即可得出结果；
（2）作DM⊥BC于M，由平行线证出△BPD∽△BCA，得出比例式，求出PD＝t，由含30°角的直角三角形的性质得出DM＝t，求出PQ＝20﹣2t，由三角形面积公式即可得出结果；
（3）作AN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性质得出AN＝AC＝8，求出△ABC的面积＝BC•AN＝80，由已知条件得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）当t＝3时，BP＝3，
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴，
即，
解得：PD＝；

（2）作DM⊥BC于M，如图1所示：
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝BC＝10，
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴，∠DPM＝∠C＝30°，
∴，DM＝PD，
∴PD＝t，
∴DM＝t，
∵BP＝CQ＝t，
∴PQ＝20﹣2t，
∴△DPQ的面积y＝（20﹣2t）×t＝4t﹣t2，
即y＝﹣t2+4t（0＜t＜10）；

（3）存在某一时刻t，使S△DPQ：S△ABC＝3：25，t＝4或t＝6；
理由如下：
作AN⊥BC于N，如图2所示：
则∠ANC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AN＝AC＝8，
∴△ABC的面积＝BC•AN＝×20×8＝80，
∵S△DPQ：S△ABC＝3：25，
∴S△DPQ＝×80＝，
∴﹣t2+4t＝，
解得：t＝4或t＝6，
即：存在，t的值为4或6．


【点评】本题是三角形综合题目，主要考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，判断出△BPD∽△BCA是解本题的关键．